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ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

※a→は「aベクトル」という意味です。 四面体OABCがあり、頂点Aから平面OBCに下ろした垂線と平面OBCとの交点をHとします。 OA→=a→、OB→=b→、OC→=c→とおきます。|a→|=|b→|=2、|c→|=1、a→・b→=c→・a→=1/2、∠BOC=60°のとき、 (1)△BOCの面積を求めてください。(途中式もお願いします。) (2)AH→をa→、b→、c→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) (3)四面体OABCの体積を求めてください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)√3/2 (2)AH→=-a→+(c→/2) (3)√5/4

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  • ベストアンサー
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  • ferien
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>四面体OABCがあり、頂点Aから平面OBCに下ろした垂線と平面OBCとの交点をHとします。 >OA→=a→、OB→=b→、OC→=c→とおきます。|a→|=|b→|=2、|c→|=1、 >a→・b→=c→・a→=>1/2、∠BOC=60°のとき、 >(1)△BOCの面積を求めてください。(途中式もお願いします。) 面積の公式より、 (1/2)×|b|×|c|×sin60°=(1/2)×2×1×√3/2=√3/2 >(2)AH→をa→、b→、c→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) △OBCで、余弦定理より、 BC^2=OB^2+OC^2-2×OB×OC×cos60° =4+1-2×2×1×(1/2) =3より、 BC=√3 よって、△OBCは、1:2:√3の直角三角形で、角OCB=90度だから、 OCが、底辺BCの垂線。 頂点Aから、△OBCにおろした垂線の足Hは、△OBCの垂線上にあるから、、 Hは、直線OCの延長線上にある。 よって、OH=kOCとおける。OH=kc AHとOCは垂直であるから、AH・OC=0 AH=OH-OA=kc-aより、 AH・OC=(kc-a)・c =k|c|^2-(a・c) =k・1^2-(1/2) =0より、 k=1/2 よって、AH=(1/2)c-a >(3)四面体OABCの体積を求めてください。(途中式もお願いします。) |AH|^2=|(1/2)c-a|^2 =(1/4)|c|^2-(a・c)+|a|^2 =(1/4)×1-(1/2)+4 =15/4より、AH=√15/2 よって、体積=(1/3)×(√3/2)×(√15/2) で答えになります。

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お二人方、ありがとうございました。

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  • 回答No.1
  • aries_1
  • ベストアンサー率45% (144/319)

以下*は掛け算を表します (1)|b→|=2、|C→|=1、∠BOC=60゜より、面積公式は「1/2*OB*OC*sin∠BOC」なので、面積は1/2*2*1*sin60゜=√3/2」 (2)b→・c→=|b→||c→|cos60゜=1 点Hは△BOC上にあるので、OH→(以下h→)=sb→+tc→…(1)(s、tは実数)とおける。 ここでAH(=h→-a→)⊥面BOCより、 AH→・OB→=(h→-a→)・b→=0⇔h→・b→=a→・b→=1/2…(2) AH→・OC→=(h→-a→)・c→=0⇔h→・c→=c→・a→=1/2…(3) (2)(3)に(1)を代入すると (2)⇔(sb→+tc→)・b→=s|b→|`2+tb→・c→=4s+t=1/2…(4) (3)⇔(sb→+tc→)・c→=sb→・c→+t|c→|`2=s+t=1/2…(5) (4)(5)を連立して解くとs=0、t=1/2 よって(1)よりh→=1/2c→ 故にAH→=-a→+h→=-a→+1/2c→」 (3)|AH→|`2=|-a→+1/2c→|`2=|a→|`2-a→・c→+|1/4c→|`2=4-1/2+1/4=15/4 よって|AH→|=√15/2(←これが四面体の高さに相当) 四面体の底面積は(1)より√3/2なので、求める体積は、1/3*√3/2*√15/2=√5/4」 分かりにくかったらすみませんm(__)m

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