ベクトルの証明がわかりません

質問

この図においてODベクトルをxベクトル、OEベクトルをyベクトル、OFベクトルをzベクトルとおきます。(１)OA'ベクトルOB'ベクトルOC'ベクトルをxベクトル、yベクトル、zベクトルで表しなさい
(２)A'B'ベクトルの二乗＝（OB'ベクトル－OA'ベクトル,OB'ベクトル－OA'ベクトル）に(１)の結果を代入し、A'B'ベクトル=B'C'ベクトル=C'A'ベクトルを証明しA'B'C'が正三角形であることを証明しなさい
(３)(OAベクトル,OBベクトル)、(OBベクト,OCベクトル)、(OCベクトル,OAベクトル)を計算してcos∠AOB
、cos∠BOC、cos∠COAの値から∠AOB、∠BOC、∠COAを求めなさい
一生懸命考えたのですが、どうしてもわからないので、解いてほしいです。よろしくお願いします。

回答No.1

ferien

条件が足りないところがあるので、こちらで勝手に解釈して考えてみました。
もしも違ってたら、教えて下さい。
図は、立方体、Ａ'，Ｂ'，Ｃ'は、ＯＡ，ＯＢ，ＯＣの中点と言うことにします。
ODベクトルをxベクトル、OEベクトルをyベクトル、OFベクトルをzベクトル　だから、
｜ｘ｜＝｜ｙ｜＝｜ｚ｜，
内積（ｘ，ｙ）＝｜ｘ｜｜ｙ｜cos（π/2）＝０より、同様にして（ｙ，ｚ）＝（ｚ，ｘ）＝０です。
（以下で、これらの条件を使います。）

＞(１)OA'ベクトルOB'ベクトルOC'ベクトルをxベクトル、yベクトル、zベクトルで表しなさい
ＯＡ＝ＯＤ＋ＯＥ＝ｘ＋ｙ，ＯＢ＝ＯＥ＋ＯＦ＝ｙ＋ｚ，ＯＣ＝ＯＦ＋ＯＤ＝ｚ＋ｘ　より、
ＯＡ'＝(1/2)ＯＡ＝(1/2)（ｘ＋ｙ）
ＯＢ'＝(1/2)ＯＢ＝(1/2)（ｙ＋ｚ）
ＯＣ'＝(1/2)ＯＣ＝(1/2)（ｚ＋ｘ）

＞(２)A'B'ベクトルの二乗＝（OB'ベクトル－OA'ベクトル,OB'ベクトル－OA'ベクトル）に(１)の結果を代入し、A'B'ベクトル=B'C'ベクトル=C'A'ベクトルを証明しA'B'C'が正三角形であることを証明しなさい
｜Ａ'Ｂ'｜^2＝｜ＯＢ'－ＯＡ'｜^2
＝｜(1/2)（ｚ－ｘ）｜^2
＝(1/4)｛｜ｚ｜^2－２（ｚ，ｘ）＋｜ｚ｜^2｝
＝(1/4)（｜ｚ｜^2＋｜ｘ｜^2）
＝(1/4)×２｜ｘ｜^2
＝(1/2)｜ｘ｜^2　より、｜Ａ'Ｂ'｜＝（１／√２）｜ｘ｜
他に、｜Ｂ'Ｃ'｜，｜Ｃ'Ａ'｜も同じように示せるので、３つの辺が等しいことが言えます。

＞(３)(OAベクトル,OBベクトル)、(OBベクト,OCベクトル)、(OCベクトル,OAベクトル)を計算してcos∠AOB、cos∠BOC、cos∠COAの値から∠AOB、∠BOC、∠COAを求めなさい
（ＯＡ，ＯＢ）＝（ｘ＋ｙ，ｙ＋ｚ）
＝（ｘ，ｙ）＋（ｘ，ｚ）＋｜ｙ｜^2＋（ｙ，ｚ）
＝｜ｙ｜^2＝｜ｘ｜^2
｜ＯＡ｜^2＝｜ｘ＋ｙ｜^2
＝｜ｘ｜^2＋２（ｘ，ｙ）＋｜ｙ｜^2＝｜ｘ｜^2＋｜ｙ｜^2＝２｜ｘ｜^2より、
｜ＯＡ｜＝√２｜ｘ｜
同様に、｜ＯＢ｜＝√２｜ｘ｜
cos∠AOB＝（ＯＡ，ＯＢ）／｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜＝｜ｘ｜^2／（√２｜ｘ｜）^2＝１／２
よって、∠AOB＝π／３
他も同じように示すことができます。

どうでしょうか？