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ベクトルの証明がわかりません

この図においてODベクトルをxベクトル、OEベクトルをyベクトル、OFベクトルをzベクトルとおきます。(1)OA'ベクトルOB'ベクトルOC'ベクトルをxベクトル、yベクトル、zベクトルで表しなさい (2)A'B'ベクトルの二乗=(OB'ベクトル-OA'ベクトル,OB'ベクトル-OA'ベクトル)に(1)の結果を代入し、A'B'ベクトル=B'C'ベクトル=C'A'ベクトルを証明しA'B'C'が正三角形であることを証明しなさい (3)(OAベクトル,OBベクトル)、(OBベクト,OCベクトル)、(OCベクトル,OAベクトル)を計算してcos∠AOB 、cos∠BOC、cos∠COAの値から∠AOB、∠BOC、∠COAを求めなさい 一生懸命考えたのですが、どうしてもわからないので、解いてほしいです。よろしくお願いします。

noname#154082
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  • 回答No.1
  • ferien
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条件が足りないところがあるので、こちらで勝手に解釈して考えてみました。 もしも違ってたら、教えて下さい。 図は、立方体、A',B',C'は、OA,OB,OCの中点と言うことにします。 ODベクトルをxベクトル、OEベクトルをyベクトル、OFベクトルをzベクトル だから、 |x|=|y|=|z|, 内積(x,y)=|x||y|cos(π/2)=0より、同様にして(y,z)=(z,x)=0です。 (以下で、これらの条件を使います。) >(1)OA'ベクトルOB'ベクトルOC'ベクトルをxベクトル、yベクトル、zベクトルで表しなさい OA=OD+OE=x+y,OB=OE+OF=y+z,OC=OF+OD=z+x より、 OA'=(1/2)OA=(1/2)(x+y) OB'=(1/2)OB=(1/2)(y+z) OC'=(1/2)OC=(1/2)(z+x) >(2)A'B'ベクトルの二乗=(OB'ベクトル-OA'ベクトル,OB'ベクトル-OA'ベクトル)に(1)の結果を代入し、A'B'ベクトル=B'C'ベクトル=C'A'ベクトルを証明しA'B'C'が正三角形であることを証明しなさい |A'B'|^2=|OB'-OA'|^2 =|(1/2)(z-x)|^2 =(1/4){|z|^2-2(z,x)+|z|^2} =(1/4)(|z|^2+|x|^2) =(1/4)×2|x|^2 =(1/2)|x|^2 より、|A'B'|=(1/√2)|x| 他に、|B'C'|,|C'A'|も同じように示せるので、3つの辺が等しいことが言えます。 >(3)(OAベクトル,OBベクトル)、(OBベクト,OCベクトル)、(OCベクトル,OAベクトル)を計算してcos∠AOB、cos∠BOC、cos∠COAの値から∠AOB、∠BOC、∠COAを求めなさい (OA,OB)=(x+y,y+z) =(x,y)+(x,z)+|y|^2+(y,z) =|y|^2=|x|^2 |OA|^2=|x+y|^2 =|x|^2+2(x,y)+|y|^2=|x|^2+|y|^2=2|x|^2より、 |OA|=√2|x| 同様に、|OB|=√2|x| cos∠AOB=(OA,OB)/|OA||OB|=|x|^2/(√2|x|)^2=1/2 よって、∠AOB=π/3 他も同じように示すことができます。 どうでしょうか?

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