単位円上に３点A,B,CがあったときOA↑+OB↑+OC↑=0↑ならば

質問

中心を原点Oとする単位円上に３点A,B,Cがあったとき、

OA↑+OB↑+OC↑=0↑

と３つのベクトルの和が0となるとき、

∠AOB=120度、∠BOC=120度、∠COA=120度

であることを示したいのですが、どうすればよいのでしょうか？

幾何学的（図形的）に考えれば、ほぼ自明のような気もしますが。

三角関数を用いれば、
cos(θ_1)+cos(θ_2)+cos(θ_3)=0,
sin(θ_1)+sin(θ_2)+sin(θ_3)=0
ならばcos(θ_1-θ_2)=cos(θ_2-θ_3)=-1/2
を示せばよいことになりますが。

複素数を用いれば、
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω（ただし、ωは１の３乗根）
を示せばよいことになりますが。

回答No.3

Meowth · ベストアンサー

複素数を用いれば、
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω（ただし、ωは１の３乗根）
を示せばよいことになりますが。
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
e^(iθ_1)で割って、
e^i(θ_2-θ_1)+e^i(θ_3-θ_1)＝－１
これから第1項と第2項は共役（実部は-1/2なので、
cosを計算してもでる）
φ=θ_2-θ_1
とおくと、θ_3-θ_1＝－φ
e^iφ+e^i(-φ)＝－１
両辺にe^iφをかけて、
e^i2φ+1=－e^iφ
e^i2φ=－e^iφ-1
両辺にe^iφをかけて、
e^i3φ=e^iφ(－e^iφ-1)=－e^2iφ-e^iφ
＝e^iφ＋1-e^iφ＝１
e^i3φはω（ただし、ωは１の３乗根）
とか

お礼

ありがとうございます。
複素数を用いた証明、たいへん簡素でわかりやすかったです。

回答No.8

tecchan22

#7すばらしい！！

そっか～、それでいいんだ～。

つまり、
ＯＡ↑にＯＢ↑,ＯＣ↑を順につなげると、足して０↑であることから原点に戻ってくるので、一辺１の正三角形になる。よって夫々のなす角は１２０°。

てな感じでしょうか？

感動しました。

回答No.6

tecchan22

＃５の考えも良いですね。少し補足すると、

三角形において、「４心（外心、内心、重心、垂心）のうち二つが一致する三角形は、正三角形」ですから、△ＡＢＣは正三角形とすぐに分かります。

（この定理の証明は、初等幾何のよい練習問題ですね）

今の場合、外心と重心ですが、なるべく簡単な証明を考えると、

ＢＣ の中点をＭとする。
Ｏが外心→ＯはＢＣ の垂直二等分線上→ＯＭ⊥ＢＣ
Ｏが重心→ＡＯＭは一直線
よって、ＡＭ⊥ＢＣ から、ＡはＢＣ の垂直二等分線上にあるから、
ＡＢ＝ＡＣ
同様にＢＣ＝ＢＡが言えて、正三角形となる。（証明終）

回答No.5

Tacosan

普通はベクトルを使うでしょうがひねって「ほぼ」初等幾何的な方法:
|OA| = |OB| = |OC| = 1 より O は △ABC の外心です. そして, OA + OB + OC = 0 = OO より O は △ABC の重心でもあります. つまり, O は外心かつ重心 (だから垂心でもある) ということになります.
そこで, A から BC に下した垂線の足を D, B から CA に下した垂線の足を E とします.
まず △ACD, △BCE の内角の和を考えると, ∠ADC = ∠BEC = 90度と ∠ACB が共通になることから
∠CAD = ∠CBE
です. そして, O が垂心かつ重心であることから
△ABD ≡ △ACD, △BCE ≡ △BAE
となります (BD = CD, CE = AE かつ ∠ADB = ∠ADC = ∠BEC = ∠BEA = 90度だから).
つまり ∠CAB = ∠CBA です. 同じように考えると
∠CAB = ∠CBA = ∠ACB
が得られ, △ABC は正三角形であることがわかります. あとは円周角から望みの結果が得られます.

回答No.4

tecchan22

あなたの言う通り、図形的に考えると、ほとんど自明です。
∠ＡＯＢ＝ｃ,∠ＢＯＣ＝ａ,∠ＣＯＡ＝ｂとおきます。

まず、ＯＡ↑＋ＯＢ↑は、ＯＡ＝ＯＢ＝１より、「ひし形」ＯＡＤＢの、ＯＤ↑となりますよね。

これが－ＯＣ↑となるわけですから、図より、∠ＣＯＡ＝∠ＣＯＢ（∵∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＤ）
つまり、ｂ＝ａとなります。

同様に考えて、ａ＝ｃ,ｃ＝ｂとなりますから、ａ＝ｂ＝ｃとなります。

（別解）
ＯＤ↑を考えるところまでは同じです。
このＯＤ↑は長さ１でなければなりませんから（∵ＯＤ↑＝－ＯＣ↑）、ひし形ＯＡＤＢは、正三角形を２つくっつけた形になります。
よってｃ＝１２０°となります。
同様にａ＝１２０°,ｂ＝１２０°となります。

以上です。

回答No.2

banakona

OA↑+OB↑+OC↑=0↑　より　OA↑+OB↑＝－OC↑　・・・（＊）
Ａ，Ｂは単位円上の点なので、OA↑＝（cosα,sinα）、OB↑＝（cosβ,sinβ）　０≦α＜β＜２π
　と置けます。
OA↑+OB↑＝（cosα＋cosβ,sinα＋sinβ）、
Ｃも=単位円上の点なので、（＊）により、OA↑+OB↑の大きさは１

（cosα＋cosβ）^2＋（sinα＋sinβ）^2＝１
展開して　（cosα）^2＋２cosαcosβ＋（cosβ）^2＋（sinα）^2＋2sinαsinβ+(sinβ）^2＝１
並べ替えて　｛（cosα）^2＋（sinα）^2｝＋｛（cosβ）^2+(sinβ）^2｝＋２cosαcosβ＋2sinαsinβ＝１
　　１＋１＋２cos（β-α）＝１
　　∴cos（β-α）＝-1/2　　
α＜βなのでβ-α＝１２０度
つまりOA↑とOB↑のなす角∠AOB=120度
以上から、∠BOC=120度、∠COA=120度も明らか

お礼

ありがとうございます。
三角関数を用いた証明、たいへん簡素でわかりやすかったです。

回答No.1

0lmn0lmn0

>> |OA↑|=|OB↑|=|OC↑|=1
>>OA↑+OB↑+OC↑=0↑

OA↑=-(OB↑+OC↑)
両辺を二乗して、
1=1+2cos(∠BOC)+1
cos(∠BOC)=-1/2
∠BOC=120度

同様に・・・。

お礼

ありがとうございます。
ベクトルを用いた証明、たいへん簡素でわかりやすかったです。