ベクトルの内積を複素数で表したい

質問

はじめまして。
複素平面上の点
0,
z(1)=r(1)*e^iθ(1)=r(1){cosθ(1)+isinθ(1)},
z(2)=r(2)*e^iθ(2)=r(2){cosθ(2)+isinθ(2)}
を考えます。

原点0からz(1)への２次元実ベクトル、
( r(1)cosθ(1), r(1)sinθ(1) )
と、原点0からz(2)への２次元実ベクトル、
( r(2)cosθ(2), r(2)sinθ(2) )
を考えます。

このとき、二つの２次元実ベクトルの内積
( r(1)cosθ(1), r(1)sinθ(1) )・( r(2)cosθ(2), r(2)sinθ(2) )
を複素数z(1)、z(2)を用いて表したいのですが、どういった形になるのでしょうか?

また、二つの複素数z(1)、z(2)の積
z(1)*z(2)
をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表したいのですが、どういった形になるのでしょうか?

回答No.5

ONB · ベストアンサー

3番の者です。1番の方がすでに答えていることを重ねて答えてしまったようですみません。

平面幾何で使われる複素数と平面ベクトルについて、ベクトルの内積と同じものが複素数の構造だけから自然に定義できることはすでに下に出ている通りですが、平面ベクトルの性質だけからは複素数の積に相当するものは出ませんね。

>単位ベクトル(1,0)が必要になる

とお気づきのように、ベクトルのなかで複素数の単位元1に相当するものはあらかじめ決めてやらないとうまくいかないからです。

お礼

ありがとうございます。僕も自分の中では、数時間考えました。

複素数z(1)、z(2)の積
z(1)*z(2)
をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表したいのですが、
始点をOとし終点をz(1)とするベクトルOz(1)=a,
始点をOとし終点をz(2)とするベクトルOz(2)=b,
始点をOとし終点を1とするベクトルO1=e,
とします。

複素数の表示には、直交座標表示と極座標表示がありますが、極座標表示がよさそうです。
すると、z(1)*z(2)は、その絶対値r(1)*r(2)と偏角θ(1)+θ(2)をベクトルの内積を用いて表せばよさそうです。

絶対値は
r(1)*r(2)=|a||b|
となりベクトルの内積を用いて表せます。もちろん、
|a|=√<a,a>
の意味です。

偏角ですが、そのcosつまり、
cos{θ(1)+θ(2)}
をベクトルの内積を用いて表すことに還元します。
ベクトルaをベクトルeに正射影したものは、<a,e>eです。
ベクトルaを、ベクトルeに対して対称に折り返したものを、xとすると、
x+a=2<a,e>e
より、
x=2<a,e>e-a
このベクトルxの偏角は-θ(1)です。
またベクトルbの偏角はθ(2)です。
つまり、ベクトルxとベクトルbのなす角は{θ(1)+θ(2)}です。
そのbとxの内積を考えることで、
cos{θ(1)+θ(2)}=<b,x>/|b||x|

これでなんとか複素数の積をベクトルを用いて表すことが出来ましたが、なんの意味があることやら。。。。

回答No.4

ojisan7

>平面の初等幾何では、ベクトルと複素数のどちらも有用ですが、その関係を探っていきたい。

そういうことならば、No1さん、No3さんの内積で良いですね。丁寧に書けば、
<z(1),z(2)>=[{z(1)・z(2)^*}+{z(1)・z(2)^*}^*]/2
となりますね。

お礼

ありがとうございます。僕も自分の中では、数時間考えました。

複素数z(1)、z(2)の積
z(1)*z(2)
をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表したいのですが、
始点をOとし終点をz(1)とするベクトルOz(1)=a,
始点をOとし終点をz(2)とするベクトルOz(2)=b,
始点をOとし終点を1とするベクトルO1=e,
とします。

複素数の表示には、直交座標表示と極座標表示がありますが、極座標表示がよさそうです。
すると、z(1)*z(2)は、その絶対値r(1)*r(2)と偏角θ(1)+θ(2)をベクトルの内積を用いて表せばよさそうです。

絶対値は
r(1)*r(2)=|a||b|
となりベクトルの内積を用いて表せます。もちろん、
|a|=√<a,a>
の意味です。

偏角ですが、そのcosつまり、
cos{θ(1)+θ(2)}
をベクトルの内積を用いて表すことに還元します。
ベクトルaをベクトルeに正射影したものは、<a,e>eです。
ベクトルaを、ベクトルeに対して対称に折り返したものを、xとすると、
x+a=2<a,e>e
より、
x=2<a,e>e-a
このベクトルxの偏角は-θ(1)です。
またベクトルbの偏角はθ(2)です。
つまり、ベクトルxとベクトルbのなす角は{θ(1)+θ(2)}です。
そのbとxの内積を考えることで、
cos{θ(1)+θ(2)}=<b,x>/|b||x|

これでなんとか複素数の積をベクトルを用いて表すことが出来ましたが、なんの意味があることやら。。。。

回答No.3

ONB

2番の方の補足として。

<z(1),z(2)>=z(1)・z(2)^*
は（エルミート）内積を定めますが、その実部
Re{ z(1)・z(2)^* }
は内積になります。これはベクトルの内積に一致します。

回答No.2

ojisan7

複素数に内積を定義する方法はいろいろありますね。L^2空間または、ヒルベルト空間に内積を定義するには、L^2可積分関数の積分で定義されます。また、単純な内積として、複素数のノルム（絶対値）が得られる内積は、以下のように定義します。
z(1)とz(2)の内積<z(1),z(2)>は、
<z(1),z(2)>=z(1)・z(2)^*
とします。ただし、z(2)^*はz(2)の複素共役です。一般的に<z(1),z(2)>は複素数になりますが、内積の公理は満たしていますね。確認してみて下さい。
ともかく、内積はいろいろありますので、用途によって使い分ければ良いのです。

お礼

ありがとうございます。

ただ、僕の目的とは違っているようです。
平面の初等幾何では、ベクトルと複素数のどちらも有用ですが、
その関係を探っていきたいのです。

回答No.1

Tacosan

内積だけ:
Re [z(1) ・ z'(2)]
ただし z' は z の共役

お礼

ありがとうございます。

二つの複素数z(1)、z(2)の積
z(1)*z(2)
をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表す方法ですが、単位ベクトル(1,0)が必要になると思います。
それを用いれば、少し汚い形ですが表せそうです。

補足

ありがとうございます。僕も自分の中では、数時間考えました。

複素数z(1)、z(2)の積
z(1)*z(2)
をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表したいのですが、
始点をOとし終点をz(1)とするベクトルOz(1)=a,
始点をOとし終点をz(2)とするベクトルOz(2)=b,
始点をOとし終点を1とするベクトルO1=e,
とします。

複素数の表示には、直交座標表示と極座標表示がありますが、極座標表示がよさそうです。
すると、z(1)*z(2)は、その絶対値r(1)*r(2)と偏角θ(1)+θ(2)をベクトルの内積を用いて表せばよさそうです。

絶対値は
r(1)*r(2)=|a||b|
となりベクトルの内積を用いて表せます。もちろん、
|a|=√<a,a>
の意味です。

偏角ですが、そのcosつまり、
cos{θ(1)+θ(2)}
をベクトルの内積を用いて表すことに還元します。
ベクトルaをベクトルeに正射影したものは、<a,e>eです。
ベクトルaを、ベクトルeに対して対称に折り返したものを、xとすると、
x+a=2<a,e>e
より、
x=2<a,e>e-a
このベクトルxの偏角は-θ(1)です。
またベクトルbの偏角はθ(2)です。
つまり、ベクトルxとベクトルbのなす角は{θ(1)+θ(2)}です。
そのbとxの内積を考えることで、
cos{θ(1)+θ(2)}=<b,x>/|b||x|

これでなんとか複素数の積をベクトルを用いて表すことが出来ましたが、なんの意味があることやら。。。。