複素数の問題です。

質問

複素数αとβは, |α - 2| = 2, |β = 3i| = 1をみたす。ここで、z = α + β　とおくと、点zの存在領域を福素数平面上に示せ。

上の問題ですが、以下のように解いた場合、参考書の解答と存在領域が異なったのですがどうしてこのようなことがおきるのでしょうか？ちなみに参考書はベクトルを用いています。

α = 2e^iθ + 1, β = e^iθ + 3i とおくと、
α = 2(cosθ + isinθ) + 2 = 2cosθ + 2 + 2sinθi
β = cosθ + isinθ + 3i = cosθ + (sinθ + 3)i
z = α + β = 2cosθ + 2 + 2sinθi + cosθ + (sinθ + 3)i = 3cosθ + 2 + (3sinθ + 3)i
ここで、z = x + yi とおくと
x = 3cosθ + 2
y = 3sinθ + 3
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9(cos^2θ + sin^2θ) = 9
∴ 中心2 + 3i, 半径3の円周上

回答No.3

MSZ006

＞α = 2e^iθ + 1, β = e^iθ + 3i とおく
両方とも同じ変数θでおくのがそもそもの間違いです。それぞれ独立していますから別変数にすべきでしょう。

回答No.2

info33

>上の問題ですが、以下のように解いた場合、
問題が間違っていませんか?
> |α - 2| = 2, |β = 3i| = 1
[ |α - 1| = 2, |β - 3i| = 1 ] では?

>参考書の解答と存在領域が異なったのですがどうしてこのようなことがおきるのでしょうか？

模範解答が正しいとは限りません。自身で正解を見極められない勉強の仕方をやってきたのでしょうか?
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> α = 2e^iθ + 1, β = e^iθ + 3i とおくと、
α , βのθは同期していないので, 独立な変数として扱うべきでしょう。
α = 2e^iθ1 + 1 (0≦θ1<2π) , β = e^iθ2 + 3i (0≦θ2<2π)とおくと、

> α = 2(cosθ + isinθ) + 2 = 2cosθ + 2 + 2sinθi
α = 2(cosθ1 + isinθ1) +1 = 2cosθ1 +1 + 2i sinθ1
>β = cosθ + isinθ + 3i = cosθ + (sinθ + 3)i
β = cosθ2 + isinθ2 + 3i = cosθ2 + (sinθ2 + 3)i
> z = α + β = 2cosθ + 2 + 2sinθi + cosθ + (sinθ + 3)i = 3cosθ + 2 + (3sinθ + 3) i
z = α + β = 2cosθ1+cosθ2 +1 + i (2sinθ1 + sinθ2 + 3)

ここで、z = x + yi とおくと
> x = 3cosθ + 2
x = 2cosθ1+cosθ2 + 1
>y = 3sinθ + 3
y=2sinθ1 + sinθ2 + 3
> (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9(cos^2θ + sin^2θ) = 9
(x - 1 -cosθ2)^2 + (y -3 -sinθ2)^2 = 4 ... (#1)
ここで, 0≦θ2<2π
>∴ 中心2 + 3i, 半径3の円周上
軌跡の境界線は (#1) をθ2で微分することにより
2(x - 1 -cosθ2) sinθ2 - 2(y -3 -sinθ2) cosθ2 = 0
(x-1)sinθ2 -(y-3)cosθ2 = 0 ... (#2)
(#1),(#2)からθ2 を消去して
境界線: (x-1)^2+(y-3)^2 =9, (x-1)^2+(y-3)^2=1

軌跡は, 2つの同心円(中心(1, 3 i), 半径1と3)の間の領域
(境界線を含む)

回答No.1

178-tall

|α-2| = 2 → z=2 を中心とし、半径 = 2 の「円周」
|β-3i| = 1 → z=3i を中心とし、半径 = 1 の「円周」
この場合、z = α+β は？
　　　↓
　α = 2e^(iθ) + 2
　β = e^(iφ) + 3i
の和らしいから、
　α+β = 2e^(iθ) + e^(iφ) + (2+3i)
右辺の第 1, 2 項の和は、原点を中心とする半径 3 と半径 1 の円周間の領域。
その 2 円周の中心を (2+3i) にずらしたときの「半径 3 と半径 1 の円周間の領域」が求むる解、なのでしょうネ。