定数係数線形微分方程式の特殊解とは?
- 定数係数の線形微分方程式の特殊解とは、与えられた微分方程式の特定の形式の解です。
- この問題では、与えられた線形微分方程式の特殊解 y1 を求めるために、WolframAlpha を利用しています。
- しかし、得られた解と問題文の式が一致しないため、どこが間違っているのかを調べる必要があります。
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定数係数の線形微分方程式の問題です。
y'' + 2y' + 5y = 2cos(3x) の特殊解 y1 を求めます。WolframAlpha での結果は y1 = (3/13)sin(3x) - (2/13)cos(3x). cos(3x) = RE[e^(i3x)]. 1 1 y1 = -------------2cos(3x) = RE[---------------------2e^(i3x)]. D^2+2D+5 (3i)^2 + 2(3i) + 2 1 6i+7 6i+7 7+6i ------------ = ------------- = ---------- = ------- -9 + 6i + 2 (6i-7)(6i+7) -36 - 49 -85 . -(1/85)(7+6i)2e^(i3x) = -(2/85)(7+6i)e^(i3x) = -(2/85)(7+6i)( cos(3x) + isin(3x) ) = -(2/85)(7cos(3x) + 7isin(3x) + 6icos(3x) - 6sin(3x) ) ∴y1 = -(2/85)( 7cos(3x) - 6sin(3x) ). 全然合いません。どこがおかしいのでしょうか?
- musume12
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> 1 1 y1 = -------------2cos(3x) = RE[---------------------2e^(i3x)]. D^2+2D+5 (3i)^2 + 2(3i) + 2 ここで分母の"5"が"2"になっているのだが。
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- spring135
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計算を落ち着いてやりましょう D^2+2D+5=(3i)^2+2(3i)+5=-4+6i (D=3iを代入する。) (1) 2/(-4+6i)=1/(-2+3i)=(-2-3i)/[(-2+3i)(-2-3i)]=(-2-3i)/13 (2) Re[(cos3x+isin3x)(-2-3i)/13]=(-2/13)cos2x+(3/13)sin3x (3) (1)では2⇒5というの誤記 (2)分母の有理化という基本的演算 (3)は念のため
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お礼
> 計算を落ち着いてやりましょう ありがとうございます。その通りでした。