非同次定数係数線形微分方程式

質問

y'' + 6y' + 10y = 2sin(x)
　　D^2 + 6D + 10 = 0
　　D = -3±i
なので
　　y'' + 6y' + 10y = 0
の解 y0 は
　　y0 = C1e^(-3x)cos(x) + C2e^(-3x)sin(x)
　ここまではすぐわかりますが
　　(D^2 + 6D + 10)y = 2sin(x)
としたときの D^2 + 6D + 10 の逆演算子がわかりません。

　私の持っている参考書には sin が絡みそうな公式は
　　[1/(D^2+k^2)]sinβx = sinβx/(k^2-β^2) k≠β
　　[1/(D^2+β^2)]sinβx = (-x/2β)cosβx k≠β
というタイプのものしか見当たりません。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(D^2+6D+10)=(D+3+i)(D+3-i)
だから
逆演算子は
{1/(D+3+i)}{1/(D+3-i)}
です

y"+6y'+10y=2sin(x)
(D^2+6D+10)y=2sin(x)
(D+3+i)(D+3-i)y=i{e^(-ix)-e^(ix)}

{1/(D-b)}{1/(D-a)}F(x)
=e^(bx)∫[e^{(a-b)x}∫e^(-ax)F(x)dx]dx

F(x)=2sin(x)
a=-3+i
b=-3-i

y
={1/(D+3+i)}{1/(D+3-i)}i{e^(-ix)-e^(ix)}
=e^(-(3+i)x}∫[e^(2ix)∫e^{(3-i)x}i{e^(-ix)-e^(ix)}dx]dx
=e^{-(3+i)x}∫{e^(2ix)∫i[e^{(3-2i)x}-e^(3x)]dx}dx
=e^{-(3+i)x}∫e^(2ix)i[e^{(3-2i)x}/(3-2i)-e^(3x)/3+A]dx
=e^{-(3+i)x}i∫[e^(3x)/(3-2i)-e^{(3+2i)x}/3+Ae^(2ix)]dx
=e^{-(3+i)x}[ie^(3x)/{3(3-2i)}-ie^{(3+2i)x}/{3(3+2i)}+Ae^(2ix)+B]
=ie^(-ix)/{3(3-2i)}-ie^(ix)/{3(3+2i)}+Ae^{(i-3)x}+Be^{-(3+i)x}
={i(3+2i)(cosx-isinx)-i(3-2i)(cosx+isinx)}/39+Ae^{(i-3)x}+Be^{-(3+i)x}
=(6sinx-4cosx)/39+Ae^{(i-3)x}+Be^{-(3+i)x}
∴
y=(2/13)sinx-(4/39)cosx+Ae^{(i-3)x}+Be^{-(3+i)x}

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。すぐ理解できないので、回答をじっくり検討させてください。

補足

F(x)=2sin(x)
a=-3+i
b=-3-i
としたら
{1/(D-b)}{1/(D-a)}F(x)
=e^(bx)∫[e^{(a-b)x}∫e^(-ax)F(x)dx]dx
の公式が使えるんですねえ！　私の持っている参考書にはこんな例題載っていないです。
　本当にありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

この場合、特殊解は、
y=a*cos(x)+b*sin(x).
でＯＫです。
-----------------
(a, b)=(4/39, -2/13).