２階線形同次微分方程式について。

質問

２階線形同次微分方程式について。

解が複素解の場合の質問です。

複素解λ1，2をもつ時、一般解は、Z(X)=Ｃ10ｅ^λ1x＋Ｃ20ｅ^λ2x　となり、これを整理すると、

y(X)＝e^(-ax/2)[Ｃ1cos(√(―a^2+4b)x/2)+Ｃ2sin(√(―a^2+4b)x/2)]

となるとのことです。そこで、教科書にＣ1＝Ｃ10+Ｃ20の実数部分　　Ｃ2=iＣ10-iＣ20の実数部分

と書いてあります。
この実数部分とはどういうことなのですか？
なぜ実数部分なのですか？
よくわかりません。

どうぞよろしくお願いいたします。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

y"+py'+q=0

α=a+bi,β=a-bi.

y
=Cexp{αx}+Dexp{βx}
=exp{ax}[Ccos(bx)+Cisin(bx)+Dcos(bx)-iDsin(bx)]
=exp{ax}[(C+D)cos(bx)+i(C-D)sin(bx)]

任意定数C,Dは、一般には複素数。
しかし、yは実数だから、右辺も実数にしなければならない。
なので、C+Dの虚数部分と、i(C-D)の虚数部分は除かなければならない。

E=Re(C+D),F=Re(i(C-D)).

y=exp{ax}[Ecos(bx)+Fsin(bx)].

もしはじめからC,Dを実数に制限してしまったらどうなるでしょう？
その場合は、F=0ということになり、exp{ax}sin(bx)の項は解に含まれなくなってしまいます。

w(z)=y(x)+iz(x),w"+pw'+q=0.
とすると、yは、w(x)の実数部分として定義できます。
つまり、上記の微分方程式はこのwの微分方程式の実数部分なわけです。
なので、実数部分をとるのです。
そもそもは、上記の微分方程式はyについて解いているのではなく、wについて解いているのです。yを求めるのに、いちいちwやzを定義していては面倒くさいので、上記のような手順を踏んでいるのです。そのへんの事情を省略して学んでいると、「？」と思うのも無理ありません。

お礼

わかりました。納得しました。
本当に助かりました。

また、丁寧に説明してくださって、ありがとうございました。