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2階線形同次微分方程式について。
2階線形同次微分方程式について。 解が複素解の場合の質問です。 複素解λ1,2をもつ時、一般解は、Z(X)=C10e^λ1x+C20e^λ2x となり、これを整理すると、 y(X)=e^(-ax/2)[C1cos(√(―a^2+4b)x/2)+C2sin(√(―a^2+4b)x/2)] となるとのことです。そこで、教科書にC1=C10+C20の実数部分 C2=iC10-iC20の実数部分 と書いてあります。 この実数部分とはどういうことなのですか? なぜ実数部分なのですか? よくわかりません。 どうぞよろしくお願いいたします。 どうぞよろしくお願いいたします。
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y"+py'+q=0 α=a+bi,β=a-bi. y =Cexp{αx}+Dexp{βx} =exp{ax}[Ccos(bx)+Cisin(bx)+Dcos(bx)-iDsin(bx)] =exp{ax}[(C+D)cos(bx)+i(C-D)sin(bx)] 任意定数C,Dは、一般には複素数。 しかし、yは実数だから、右辺も実数にしなければならない。 なので、C+Dの虚数部分と、i(C-D)の虚数部分は除かなければならない。 E=Re(C+D),F=Re(i(C-D)). y=exp{ax}[Ecos(bx)+Fsin(bx)]. もしはじめからC,Dを実数に制限してしまったらどうなるでしょう? その場合は、F=0ということになり、exp{ax}sin(bx)の項は解に含まれなくなってしまいます。 w(z)=y(x)+iz(x),w"+pw'+q=0. とすると、yは、w(x)の実数部分として定義できます。 つまり、上記の微分方程式はこのwの微分方程式の実数部分なわけです。 なので、実数部分をとるのです。 そもそもは、上記の微分方程式はyについて解いているのではなく、wについて解いているのです。yを求めるのに、いちいちwやzを定義していては面倒くさいので、上記のような手順を踏んでいるのです。そのへんの事情を省略して学んでいると、「?」と思うのも無理ありません。
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