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2階変数係数線形微分方程式

 (x^2)*y"-3xy'+5y=4/x    この問題はオイラー型の2階変数係数線形微分方程式というようです。 この問題の解法を教えてください。お願いします。 とりあえず左辺=0と置いたときの一般解として   y=(x^2)*{A*cos(log x)+B*sin(log x)} (A,Bは任意定数) までは出したのですが、特殊解の求め方が分かりません。

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(x^2)*y"-3xy'+5y=4/x---------------(ⅰ) 式(ⅰ)は (x^2)(d^2y/dx^2)-3x(dy/dt)+5y=4/x---------------(ⅱ) だから ここで d/dt=D,e^t=xとおけば d^2y/dx^2=(d/dx)(dy/dx) =(d/dt)(dt/dx)y(d/dt)(dt/dx) =yD(D-1)e^(-2t) dy/dt=y(d/dt)(dt/dx) =yDe^(-t) ((2))式を書き直すと {D(D-1)y-3D+5}y=4e^(-t) (D^2-4d+5)y=4e^(-t)------------(ⅲ) 基本解を求めるために右辺を0とおくと ζ(λ)=λ^2-4λ+5=0 λ=2±i よって基本解λ=2±i これから余関数を求めると Y=e^(2t)(e^(2±1i)) =x^2{(C1cost+C2sint)+(C3cost-C4sint)} =x^2{(C1+C2)cost+(C3+C4)sint} C1+C2=A,C3+C4=Bとおけば Y=x^2(Acost+Bsint)---------* ここでe^t=x より logx=t Y=x^2(Acoslogx+Bsinlogx) また*で発展して Y={√(A^2+B^2)}(sint+α) √(A^2+B^2)=C Y=C(sinlogx+α) と書く方法もあります. 特解の求め方ですが ξ(D)φ=4e^(-t)    =4e^(-t)/ξ(D) ここでe^(-t)のtの係数(-1)をDに代入すると    =4e^(-t)/ξ(-1)    =4e^(-t)/((-1)^2-4(-1)+5))    =4e^(-t)/10    =2/5x よって y=Y+φ=x^2(Acoslogx+Bsinlogx)+2/5x もしくは y=C(sinlogx+α)+2/5x

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質問者からのお礼

丁寧に解説していただいてありがとうございました。大変参考になりました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

式の形を見て (1)  y = c/x の形が特解になりそうだな,という見当がつきます. 左辺の3項とも,(1/x)の定数倍の形になりますから. あとは右辺と合うように c を決めればOKですので,お任せします.

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