• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

微分方程式について

2階線形同次微分方程式を解く場合、方程式が2実数解、重解、2虚数解のどれを持つかによって、一般解は異なります。 しかし、微分方程式をラプラス変換で解けば、一般解を求めるための公式は気にしなくともよいのでしょうか。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数124
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

気にしなくても良いのではなく ラプラス変換後関数 F(s)の極、つまり分母のゼロ点が2実数解、重解、2虚数解のどれを持つかによって、 部分分数分解の形が変わり、逆ラプラス変換後の一般解も異なってきます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 微分方程式

    dx/dt=a^2-x^2 (aは実数の定数) (1)この微分方程式は1階の線形同次・線形非同次・非線形のどれにあてはまるか。 (2)この微分方程式の一般解を変数分離法で求めよ。 考えたことは(1)は非線形だと思いますが、合っていますか? (2)はdx/(x^2-a^2)=-dtと変形し、両辺積分します。  すると、1/(2a)log(|x-a|/|x+a|) = -t + C このあとx=が分からないです。 教えてください。お願いします

  • 非同次線形微分方程式の解

    非同次線形微分方程式の解は、 「同次線形微分方程式の一般解+特殊解」 だと思うのですが、このとき、 「【同次線形微分方程式の一般解】は、非同次線形微分方程式の解である。」と言えるのでしょうか?

  • 解けませんこの微分方程式

    いつもお世話になっています。 独学でなんとか線形微分方程式や同次型まで理解しています。今 y'+(1/x)y+y^2-1/x^2=0 という方程式を解こうとしています。特殊解はとりあえず1/xが見つかりました。問題は一般解を求めるのですが、試しに最終的に求めたい 線形結合の解yをy=k+1/xとおいて(kが一般解です)代入し、 kとxの微分方程式を作りました。 果たしてここまであっているのかわからないのですが、ここから手が止まっています。また変数変換したりするのでしょうか。 わかる方詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

「ラプラス変換表」のたぐいでも、{2 実数解, 重解, 2 虚数解} と区別しているのが多そうですね。 指数関数 (e^pt など) 形式で解を求め、その指数部係数が実数 (a) か複素数 (a+ib) なのかにより、実数指数関数 (e^at) や複素指数関数 (e^at *e^ibt) としてさらに三角関数にする、などの便法はよく使われてます。 (重解 (実数 p) の場合だけ、y = x(e^px) など、別扱い?) テスト答案に流用したときの採点者のレスポンスは? ケースバイケースかナ…。   

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • <微分方程式>

    y’-2y/x = xy^3 は y’/y^3-2/x*1/y^2と変形できる。 ここで、1/y^2 = uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。 次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。 この問題を教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 微分方程式

    y1(x),y2(x)が2階線形微分方程式 y''+p(x)*y'+q(x)*y=0の基本解ならば、 a^2≠1とするとき y1(x)+a*y2(x),a*y1(x)+y2(x) もこの微分方程式の基本解となることを証明したいのですが、どうすればいいのか分かりません どなたかお願いします。

  • 未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? 

    未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? 一階の線形微分方程式の解き方は dy/dt + p(t)y = g(t) のとき e^∫p(t)dt を両辺にかけて そのあとで両辺を積分してyについて解く と習いました。 そして、未定係数法は2階の線形微分方程式を解く方法の一つとして、 習いました。 ここで疑問に思ったのが、 この未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? だとしたら下のような手順でよいのでしょうか? 同次式: dy/dt + p(t)y = 0 の一般解を求める (積分定数が残る) 非同次式: dy/dt + p(t)y = g(t) の特殊解を求める (積分定数はない) yの一般解 = 同次式の一般解 + 特殊解 よろしくお願いします。

  • 微分方程式

    第1問 dy   y~2-x~2 --=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい) dx    2xy 第2問 一階線形微分方程式  dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx 1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい 2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。 また、その時の一般解を求めなさい

  • 微分方程式

    y’-2/xy = xy^3 は y’/y^3-2/x*1/y^2と変形できる。 ここで、1/y^2 = uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。 次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。 この問題を教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 微分方程式について。

    微分方程式の一般解をもとめます。 (1)dy/dx=(y^2)+y これは、線形微分方程式を使ってとくのでしょうか?? (2)(x-y)y'=2y 同次形で解きましたが 途中の式、 ∫du(1-u)/(u+u^2)=∫1/xでの右辺の積分がわかりません。 両者の解答の導き方を教えてください。お願いします。

  • 微分方程式の問題なのですが

    こんばんわ。 微分方程式の問題なのですが 以下の微分方程式を解き、解を実数で表せる場合すべて実数で表せという問題です。 (1)y''-y=0 (2)y''+4y=0 わかる方いらっしゃったら教えてください。

  • 微分方程式の解き方が分からず、困っています。

     現在、試験に向けて微分方程式の勉強をしているのですが、下記の問題の解き方が分かりません。  教科書を参考に(1)は変数分離系、(2)は同次形、(3)は線形で解こうとしましたが、どの問題も積分するところで複雑な式になってしまい、解けれません。  分かる問題だけでも良いのでアドバイス、解き方を教えてください。よろしくお願いします。     (1)次の微分方程式の一般解を求めよ dy/dx=y^2+1 (2)次の微分方程式の一般解を求めよ y'=(y/x)(log(y/x)+1) (3)次の微分方程式の解でt=0のときx=1の条件を満たすものを求めよ x'cost+xsint=1

  • 微分方程式に関する問題です。

     dy/dx = (a+by)(c(x)+d(x)y) ここで、a,bは定数、c(x),d(x)はxの区間Iで連続とする。 (1)この微分方程式は、変数変換y = 1/b(1/z - a)により次の線形微分方程式に変換されるという。 dz/dx = f(x)z + g(x) をf(x),g(x)をa,b,c(x),d(x)を用いて表せ。 (2)a = b = 1,c(x) = x + 2/x , d(x) = xとするとき、微分方程式の一般解を求めよ。 途中の計算などもできれば詳しくお願いします。

  • 微分方程式について

    微分方程式の問題について2つほど聞きたいことがあります。 (1)y''+y'-2y=10 (1)の問題は、y''+y'-2y=0と考えて解いていいんですよね? 定数係数2階線形同次方程式と呼ばれるもので良いんですよね? (2)S(x)=(x^4)/(2×4)+(x^6)/(2×4×6)+(x^8)/(2×4×6×8)+・・・とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) S(x)が満たす1階の微分方程式を求めよ。 (2) 上記の微分方程式を解いてS(x)を求めよ。 という問題です。このような形の微分方程式はあまり見慣れません。 どのように解いていけばよいのかよく分かりません。 色々とお聞きしてしまい、申し訳ないんですが、よろしくお願いしますm(_ _)m