一階線形微分について

質問

y' - 2y/x = (x^2) cos3xについて、解きなさいという問題なのですが、
同次形の場合について解いてみて、
dy/dx - 2y/x = 0
1dx/y = 2dx/x
両辺を積分
logy = 2∫1dx/x + C
= logx^2 + C
y = x^2 + e^C
e^C = C(x)
y = x^2 + C(x)
となったのですが、答えがe^□にならないといけないのでしょうか。非同次形を続けて解いてみたら可笑しな値になりました。いまいち一階線形微分について理解出来ていないので、ご指導頂けたら有り難いです。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

解法の流れを示しておきます．

y ＝ C(x)・(x^2)
この両辺を x で微分すると，積の微分法により，
y' ＝ C'(x)・(x^2)＋ C(x)・(2x)
です（y' と C'(x) が微分したもの）．これをもとの式：
y' － 2y/x ＝ (x^2) cos3x
に代入すると
C'(x)・(x^2) ＋ C(x)・(2x) － (2/x)(C(x)・(x^2)) ＝ (x^2) cos3x
となります．この式を整理してゆくと
C'(x)・(x^2) ＋ C(x)・(2x) － (2x) C(x) ＝ (x^2) cos3x
C'(x)・x ＋ 2C(x) － 2 C(x) ＝ x cos3x
C'(x)・x ＝ x cos3x
C'(x) ＝ cos3x
となります．この式の両辺を x で積分すると，c を積分定数として，
C(x) ＝ ∫cos3x dx ＋c
この積分 ∫cos3x dx は， (1/3) sin3x ですから
C(x) ＝ (1/3) sin3x ＋c
と書けます．この C(x) を y ＝ C(x)・(x^2) の式に入れると
y ＝ C(x)・(x^2) ＝(x^2){(1/3) sin3x ＋c}

y ＝(x^2){(1/3) sin3x ＋c}

となり，この y ＝(x^2){(1/3) sin3x ＋c} が与えられた１階線形常微分方程式
y' － 2y/x ＝ (x^2) cos3x の一般解です．

以下は，念のため，検算です．

y ＝ (x^2){(1/3) sin3x ＋c}
y' ＝ 2x{(1/3) sin3x ＋c}＋(x^2) cos3x

y' － 2y/x に入れる．

y' － 2y/x ＝
＝ 2x{(1/3) sin3x ＋c}＋(x^2) cos3x －(2/x)((x^2){(1/3) sin3x ＋c})
＝ 2x{(1/3) sin3x ＋c}＋(x^2) cos3x －(2x){(1/3) sin3x ＋c}
＝ 2x{(1/3) sin3x ＋c}＋(x^2) cos3x －2x{(1/3) sin3x ＋c}
＝ (x^2) cos3x

となり，y' － 2y/x ＝ (x^2) cos3x が得られたので，
y ＝(x^2){(1/3) sin3x ＋c} が一般解であることが確かめられました．

お礼

解放までつけて頂いて、本当に有り難うございます。途中で変な計算をしていましたが、最後まで解くことができました。お手数かけてすみません。
ご回答、有り難うございます。

回答No.1

Knotopolog

y = x^2 + e^C が間違い！　これは，

y ＝ (e^C)・(x^2)

です．

お礼

ご回答有り難うございます。
y=(e^c)＋(x^2)ではなくて、y=(e^c)(x^2)なのですね。これからは、気を付けます。

補足

重ね重ねすみませんが、y =(e^c)(x^2)とするときe^cをc(x)とおいて非線形をとくと、
y'-y=c'(x)(x^2)＋c(x)(x^2)'-{2c(x)(x^2)}/x=(x^2)cos3x
…という風に解いていっても良いのでしょうか。
c(x)を求めるのにc'(x)や∫c(x)がでてくるのですが…