logy=x*logxの両辺をｘで微分すると

質問

logy=x*logxの両辺をｘで微分すると、

1/y*y'=(x)'*logx+x(logx)'

右辺がこうなるのは分かるんですが、なぜ左辺がこうなるのかがわかりません。

左辺＝logyをｘで微分するということなので　d左辺/dｘとなりますよね？
ｘで微分するのでyは定数とみなして計算しますよね？

たとえば、y=u^3+u^2+3 をｘで微分したらdy/dx=0　となりますよね？

なので、logy をｘで微分したらyを定数とみなして計算しなければいけませんよね？
なぜ、logy をｘで微分したら、1/y*y'　になるのでしょうか？

教えてください。
お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>ｘで微分するのでyは定数とみなして計算しますよね？
x,yが独立な変数の場合の偏微分であるといった勘違いをしていませんか？
yは定数ではなく、y=y(x)　つまり　yはxの関数であり,「xで偏微分する」のではなく、「xの関数であるy=y(x)をxで微分する」のです。

f(g(x))をxで微分する場合
　d{f(g(x))}/dx=f'(g(x))g'(x)　...(■1)
という合成関数の微分公式がありますね。
　g(x)=uとおくと
　f'(g(x))g'(x)=(df/du)*(du/dx) ...(■2)
ということですね。
いま、この公式をlog(y)をxで微分する場合に当てはめて見ましょう。
　y=g(x),f(y)=log(y)とすると
　d{f(g(x))}/dx=d{log(y)}/dx
　=f'(y)*g'(x)
　=(df/dy)*(dy/dx)
　={d(log(y))/dy}＊y’
　=(1/y)*y'
となります。

納得できましたか？
yがxの関数であることを認識して下さい。
陰関数形式の方程式logy=x*logx
では,xを独立変数とすると、yは従属変数でyはxによって決まる関数y(x)と考えないといけません。yは定数ではありません。xの関数です。

偏微分の場合は
f(x,y)=xlog(y)とすると,x,yは互いに独立な変数で、xとyは互いに依存しないで決められます。
つまりxを変数、yを定数として扱っても一向に構いません。
こう言った場合は、xについて偏微分(yを定数として扱う)したり、(xを一定の定数として扱い)yについて偏微分することが可能になります。

質問者さんは、上述の２つの場合をごちゃ混ぜにしていて、区別できていないのではないかと思います。
ちゃんと上の説明を熟読して、「xでxの関数のyを微分する」ことと、「x,y,…などの複数変数の関数f(x,y,..)をxで偏微分する」ことの違いを区別して理解するようにして下さい。

回答No.4

noname#182106

「合成関数の微分」ですよ。

例えば { log(x^2 + 1) }' = (x^2 + 1)'/(x^2 + 1) ですね？
y = x^2 + 1 とおけば (log y)' = y'/y になっています。

回答No.2

anisakis

同じような質問を前にも答えましたので
参考URLよければ見てください
あとlogyは定数じゃないですよ
logy=x*logxって書いてますよね

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5934752.html

回答No.1

Tacosan

y=x を x で微分してみてください.