変数分離法の計算

質問

問題を２つ解いたのですが解答がでません。どこが間違っているか教えてもらえないでしょうか？

一つ目はこの前に質問して回答を見て納得し、自分でやって答えも出たのですが今やってみると解答と違っていました

dy/dx=(1-y^2)/(1-x^2)

dy/(1-y^2)=dx/(1-x^2)
部分分数にして両辺を積分すると
log((y-1)/(y+1))=log((x-1)/(x+1))+logC
logをはずして計算をすると
y=(1-C+Cx)/(1+C-Cx)
になるのですが解答は　y=(x+C)/(1+Cx)
になってました。積分定数の置き方が違うと思うのですがお願いします

もう一つは

(2x^3-y^3)ydx-x(x^3-2y^3)dy=0

dy/dx=(y/x)*(2x^3-y^3)/(x^3-2y^3)
=(y/x)*(2-(y/x)^3)/(1-2(y/x)^3)
y/x=u と置いて
dy/dx=u+xu'
よって
u+xu'=u*(2-u^3)/(1-2u^3)
1+(x/u)u'=(2-u^3)/(1-2u^3)
(1/x)dx=((1-2u^3)/u*(1+u^3)du
左辺を積分して
左辺=logx
右辺は部分分数にすると
右辺=(a/u+b/(1+u)+c/(1-u+u^2))du
a=1 b=-3 c=-3より
右辺=1/u-(3/(1+u))-(3/(1-u+u^2))du
ここで-(3/(1-u+u^2))の積分ができません

両方とも計算の仕方が間違っているのでしょうか？

回答No.1

narucross · ベストアンサー

こんばんは。おそらく前者の問題は以前私がアドバイスさせていただいたものだと思います。

＞dy/(1-y^2)=dx/(1-x^2)
部分分数にして両辺を積分すると
log((y-1)/(y+1))=log((x-1)/(x+1))+logC

ここまではＯＫですね。整理して
(y-1)/(y+1)=C*(x-1)/(x+1)
yについて解きます。
y=((1+C)x+(1-C))/((1-C)+(1+C))
表記が煩雑になりますが上記のようになります。この時点でplutaさんのとは違ってきているようです。
分母分子を1+Cで割り、(1-C)/(1+C)を新たにＣとおくことにします。
y=(x+C)/(Cx+1)　　　＊
計算をもう一度やってみてはどうでしょうか。基本的に割り算をしたときに、割るものが０ではない過程で進めています。厳密な解答ではないと思ってください。
なお、(1-C)/(1+C)を新たにＣとおくことにします
なんて書きましたが、旧Ｃを適当に動かしてみると、(1-C)/(1+C)は自由に（任意の）実数を取ることが分かると思います。
以上より＊で問題ないと思われます。

後者ですが、これは部分分数分解のやりかたが問題です。
＞右辺=(a/u+b/(1+u)+c/(1-u+u^2))du

と書いていますが、(1-u+u^2)の場合分母が三次式なので、分子は二次式でなくてはなりません。たとえば、分子をcu+dのようにおかねばなりません。そう置いた場合、(a,b,c,d)=(1,-1,-2,1)となります。

話を進めましょう。
右辺の積分は、
∫((1/u)-(1/1+u)-((2u-1)/(u^2-u+1))du
と、こんな感じのものになります。
これだったら、積分計算できるのでないでしょうか。最後の項もみればすぐに気が付く対数の積分ですし・・・

以上参考になれば幸いです。

お礼

いつもお世話になっています
今回も丁寧な回答ありがとうございます