同次形微分方程式

質問

下の“微分方程式を解け”という問題がわかりません。
(1)　(x+y)+(x-y)(dy/dx)=0
(2)　xy(dy/dx)=x^2＋y^2

この2つなんですが、一応、同次形微分方程式の範囲なので
y/xの形にしてみたんですが・・・
(1)
(x-y)(dy/dx)=-(x+y)
(dy/dx)=-(x+y)/(x-y)
右辺の分母分子をｘで割る
(dy/dx)=-(1+y/x)/(1-y/x)
y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx)
よって
u+x(du/dx)=-(1+u)/(1-u)
x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) -u
x(du/dx)=-(1+u^2)/(1-u)
(1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx
両辺を積分というとこの左辺のせきぶんがわかりません。
というかここまでまちがってるかもしれません。
(2)
(dy/dx)xy=x^2+y^2　両辺をx^2でわる。
(dy/dx)(y/x)=1+(y/x)^2
y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx)よって
u+x(du/dx)=(1+u^2)/u
x(du/dx)=(1+u^2)/u -u
x(du/dx)=(1/u)
udu=(1/x)dx　　両辺を積分
(1/2)u^2=logｘ+Ｃ
よって(1/2)(y/x)^2=logｘ＋Ｃ
ｙ^2＝2x^2(logx＋Ｃ)
となり、とりあえず答えは合いました。過程はあってますか？
あと、最終的な答えの形なんですがｙ=で答えるとかｘ=で答えるとか
ってありますか？

回答No.2

info22

(1)
>(1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx
>ここまでまちがってるかもしれません。
合っています。
du/(1+u^2)-(1/2)(u^2)'du/(1+u^2)=(1/x)dx
arctan(u)-(1/2)log(1+u^2)=log(|x|)+C
後はu=y/xを代入して整理すればできるでしょう。

(2)
>udu=(1/x)dx　　両辺を積分
ここで xは正、負の値をとりうることから
logの真数に絶対値をつけて下さい。
>(1/2)u^2=log(x)+Ｃ
(1/2)u^2=log|x|+Ｃ
↓
>ｙ^2＝2x^2(logx＋Ｃ)
y^2=2(x^2)(log|x|＋Ｃ)…(■)

(1),(2)とも簡単にy=f(x)やx=g(y)の形式に直せない場合は
最終的な答を
陰関数の形や(■)のような答で応えても
正解といえます。

回答No.1

noname#71111

wmMaxima（フリーソフト）で∫(1-u)du/(1+u^2)
を計算すると
arctan(u)-log(u^2+1)/2
だそうです。
何故かは私にもわかりません。