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同次形微分方程式

下の“微分方程式を解け”という問題がわかりません。 (1) (x+y)+(x-y)(dy/dx)=0 (2) xy(dy/dx)=x^2+y^2 この2つなんですが、一応、同次形微分方程式の範囲なので y/xの形にしてみたんですが・・・ (1) (x-y)(dy/dx)=-(x+y) (dy/dx)=-(x+y)/(x-y) 右辺の分母分子をxで割る (dy/dx)=-(1+y/x)/(1-y/x) y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx) よって u+x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) -u x(du/dx)=-(1+u^2)/(1-u) (1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx 両辺を積分というとこの左辺のせきぶんがわかりません。 というかここまでまちがってるかもしれません。 (2) (dy/dx)xy=x^2+y^2 両辺をx^2でわる。 (dy/dx)(y/x)=1+(y/x)^2 y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx)よって u+x(du/dx)=(1+u^2)/u x(du/dx)=(1+u^2)/u -u x(du/dx)=(1/u) udu=(1/x)dx  両辺を積分 (1/2)u^2=logx+C よって(1/2)(y/x)^2=logx+C y^2=2x^2(logx+C) となり、とりあえず答えは合いました。過程はあってますか? あと、最終的な答えの形なんですがy=で答えるとかx=で答えるとか ってありますか?

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  • 回答No.2
  • info22
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(1) >(1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx >ここまでまちがってるかもしれません。 合っています。 du/(1+u^2)-(1/2)(u^2)'du/(1+u^2)=(1/x)dx arctan(u)-(1/2)log(1+u^2)=log(|x|)+C 後はu=y/xを代入して整理すればできるでしょう。 (2) >udu=(1/x)dx  両辺を積分 ここで xは正、負の値をとりうることから logの真数に絶対値をつけて下さい。 >(1/2)u^2=log(x)+C (1/2)u^2=log|x|+C ↓ >y^2=2x^2(logx+C) y^2=2(x^2)(log|x|+C)…(■) (1),(2)とも簡単にy=f(x)やx=g(y)の形式に直せない場合は 最終的な答を 陰関数の形や(■)のような答で応えても 正解といえます。

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noname#71111
noname#71111

wmMaxima(フリーソフト)で∫(1-u)du/(1+u^2) を計算すると arctan(u)-log(u^2+1)/2 だそうです。 何故かは私にもわかりません。

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