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偏微分方程式

x^2 (∂z/∂x) + (x^4-xy) (∂z/∂y) = xz + y この問題が解けなくて困っています。 dx/(x^2) = dy/(x^4-xy) = dz/(xz+y) として、 dy/dx = (x^4-xy)/(x^2) = x^2-(y/x) dy/dx + y/x = x^2 に一階線形常微分方程式の公式を適用して、 y = (1/4)x^3 + C(1)(1/x) (C(1)は積分定数) まで解いたのですが、そもそもここまで合ってるかどうかさえ分かりません。 解き方を教えてください。 自分で確認したいので検算の方法もよろしければお願いします。

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  • 回答No.2
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

ANo.1 です。間違いがあったので訂正します。 【誤】 z = ( x^3 - y )/(3*x) + f( x*y - x^4/4 ) --- (2)     となりました。f( x*y - x^4/y ) というのは、変数が x*y - x^4/y の任意関数です。 【正】 z = ( x^3 - y )/(3*x) + x*f( x*y - x^4/4 ) --- (2)     となりました。f( x*y - x^4/4 ) というのは、変数が x*y - x^4/y の任意関数です。

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  • 回答No.1
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

解法が分かりませんが、数式処理ソフト(Maple)によれば    x^2*(∂z/∂x) + ( x^4 - x*y )*(∂z/∂y) = x*z + y --- (1) の解は    z = ( x^3 - y )/(3*x) + f( x*y - x^4/4 ) --- (2) となりました。f( x*y - x^4/y ) というのは、変数が x*y - x^4/y の任意関数です。 式(2)から    式(1)の左辺 = ( x^3 + 2*y )/3 +x^2*f( x*y - x^4) = 式(1)の右辺 となるので確かに解になっています。

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