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同次形微分方程式

次の問題がわかりません。 次の微分方程式を解け。 (1)(x-y)(dy/dx)=2y (2)dy/dx=y/x+sin(y/x) (1)(x-y)(dy/dx)=2y (dy/dx)=2y/(x-y) 右辺の分母分子をxで割る (dy/dx)=2y/x/(1-y/x) y/x=uとするとdy/dx=u+xdu/dxより u+xdu/dx=2u/1-u xdu/dx=2u/1-u -u xdu/dx=u+u^2/1-u (1-u)du/(u+u^2)=dx/x 両辺を積分 の左辺の積分がわかりません。それかもっといい方法あったら 教えてください。 (2)y/x=uとするとdy/dx=u+xdu/dxより u+xdu/dx=u+sinu xdu/dx=sinu du/sinu=dx/x 両辺を積分 の左辺の積分がわかりません。お願いします。

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(1) >(1-u)du/(u+u^2)=dx/x  (1-u)/(u+u^2)=(1/u)-2/(u+1) ですから、 log|u|-log((u+1)^2)=log|x|+C log|u/{x(u+1)^2}|=C 後はu=y/xを代入して整理して下さい。 (2) >du/sin(u)=dx/x 両辺を積分 1/sin(u)=sin(u)/{sin(u)}^2 ={cos(u)}'/[1-{cos(u)}^2] =(1/2){cos(u)}'*[1/{1-cos(u)}+1/{1+cos(u)}] なので (1/2)log[{1-cos(u)}{1+cos(u)}]=log|x|+C log|sin(u)|=log|x|+C 後はできますね。

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