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微分についての質問です

x^2+y^2=1について(d^2)y/dx^2をもとめよ  なんですが 解答は 2x+2ydy/dx=0 dy/dx=-x/y さらに両辺をxについて微分すると (d^2)y/dx^2=(xy'-x'y)/y^2=-1/y^3 だったんですが 私はdy/dx=-x/y さらに両辺をxについて微分すると (d/dx)・(dy/dx)=(d/dx)-x/y で(d^2)y/dx^2=-1/yだと思うんですが  yについて微分しないと(xy'-x'y)/y^2にならないとおもうんですがどうしてこのようになるんでしょうか?

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x^2+y^2=1 は陰関数表示と呼ばれる形です。(x と y の関係式) 通常のy=±√(1-x^2) は陽関数表示と呼ばれます。(y= の形) 陰関数を微分してあげると、 dy/dx=-x/y となり微分してもx と y の関係式になります。 陽関数の場合xだけの式になります。 ここで2階微分をするということですが… (d/dx)・(dy/dx)=(d/dx)(-x/y) の式は正しいです。 xで微分するという考え方もばっちりです。 ただし、気を付けなければならないのが、y は x との関係式が成り立っているということです!! だから x で微分するということは、同時に y で微分するということになります。 微分した形が2変数の場合は気を付けてください。 お分かりですかね??

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  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

一回目の微分を 2x+0=0 とはしなかった理由を思い出してみれば、 y を定数として扱ってはいけないのだと解るはずなんですが… x2乗+y2乗=1 という等式によって、x と y には関数関係があるから、 2x+2y(y')=0 となるのです。この式を再度微分すれば、 2+2(y')2乗+2y(y'')=0 です。積の微分公式を知らなければ、復習のこと。 ふたつの式から、y' を代入消去すると、目的の式が得られます。 公式を暗記するよりも、式を微分することの意義を確認してくださいよ。

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  • 回答No.3
  • info22_
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x^2+y^2=1 …(1) xで微分 2x+2yy'=0 y'を求めると y'=dy/dx=-x/y…(2) xで微分 y''=d^2(y)/dx^2=-1/y + xy'/y^2  (←(2)を代入) =-1/y - x^2/y^3  =-(y^2+x^2)/y^3        (←(1)を代入) =-1/y^3 となります。 > で(d^2)y/dx^2=-1/yだと思うんですが  とはなりません。 上の計算過程を繰り返し熟読して理解するようにして下さい。

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  • 回答No.1

>dy/dx=-x/y さらに両辺をxについて微分すると (d^2)y/dx^2=(xy'-x'y)/y^2=-1/y^3 x'=dx/dx=1 よって (d^2)y/dx^2=(xy'-y)/y^2 です。これが-1/y^3になるというのはそういう条件が別途課せられているときの話です。一般論として間違いです。 >私はdy/dx=-x/y さらに両辺をxについて微分すると (d/dx)・(dy/dx)=(d/dx)-x/y 間違いです。 (d/dx)・(dy/dx)=(xy'-y)/y^2 商の微分を勉強しなおしてください。

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