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数III 微分の問題

xy=2について、dy/dxをx,yを用いて表せ。という問題なのですが <自分の答え> y≠0のとき、 x=2/y この両辺をxで微分すると 1=(d/dx)(2/y) 1=(dy/dx)(-2/y^2) ∴dy/dx=-(y^2/2) <模範解答> 両辺をxで微分すると y+(dy/dx)x=0 よって、x≠0のとき dy/dx=-(y/x) というように解答が違います。 でもxy=2から、x≠0のときy=2/xであることは明らかですから、 -(y^2/2)=-{y(2/x)/2}=-(y/x) となりますよね? この場合<自分の答え>も正解ですか?

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

補足 (x^3)(y^2)=1について、dy/dxをx,yを用いて表せ。 <自分の答え> y^2≠0のとき、x^3=1/y^2 この両辺をxで微分すると、 3x^2=(d/dx)(1/y^2) 3x^2=(dy/dx){-(2/y^3)} ∴dy/dx=-{3(x^2)(y^3)/2} <模範解答> 両辺をxで微分すると (3x^2)(y^2)+(x^3)(dy/dx)2y よって、xy≠0のとき dy/dx=-{3(x^2)(y^2)/2(x^3)y}=-(3y/2x) こちらも解答が違っていますが、y^2=1/x^3 (x≠0) であることは明らかなので、このことを用いれば -{3(x^2)(y^3)/2}=-(3y/2x) であることは示せます。さらに今回は両方の解答でx,yがしっかり使われています。 この場合、<自分の答え>も正解ですか? >満点は貰えないでしょう。 算数で正解1/2を2/4と答えたら満点は貰えないのと同類。 ∴dy/dx=-{3(x^2)(y^3)/2} に(x^2)(y^3)=y/xを代入してdy/dx=-{3(y/x)/2}=-3y/2x とすべきです。

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質問者からのお礼

分かりやすい解答ありがとうございます。 やはりこの手の問題はそのまま微分して解くべきってことですね…

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

この場合<自分の答え>も正解ですか? >不正解です。 何故なら、問題は「dy/dxをx,yを用いて表せ。」であり、 dy/dx=-(y^2/2)のままでは右辺にxが無いからです。 計算手順は関係なく、 「xy=2から、x≠0のときy=2/xであることは明らかですから、 -(y^2/2)=-{y(2/x)/2}=-(y/x)」 ここまでやれば正解になります。

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質問者からのお礼

ありがとうございました

質問者からの補足

なるほど分かりました 実はもう一つ同じような質問があるのですが… _____________________ (x^3)(y^2)=1について、dy/dxをx,yを用いて表せ。 <自分の答え> y^2≠0のとき、x^3=1/y^2 この両辺をxで微分すると、 3x^2=(d/dx)(1/y^2) 3x^2=(dy/dx){-(2/y^3)} ∴dy/dx=-{3(x^2)(y^3)/2} <模範解答> 両辺をxで微分すると (3x^2)(y^2)+(x^3)(dy/dx)2y よって、xy≠0のとき dy/dx=-{3(x^2)(y^2)/2(x^3)y}=-(3y/2x) こちらも解答が違っていますが、y^2=1/x^3 (x≠0) であることは明らかなので、このことを用いれば -{3(x^2)(y^3)/2}=-(3y/2x) であることは示せます。さらに今回は両方の解答でx,yがしっかり使われています。 この場合、<自分の答え>も正解ですか? yyssaaさん以外の方からの解答もお待ちしています。

  • 回答No.1

間違いではないが正解ではない。数学の常識に欠けるということです。

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質問者からの補足

詳しく説明していただけるとありがたいです

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