数III 微分の問題

質問

xy=2について、dy/dxをx,yを用いて表せ。という問題なのですが

<自分の答え>
y≠0のとき、 x=2/y
この両辺をxで微分すると
1=(d/dx)(2/y)
1=(dy/dx)(-2/y^2)
∴dy/dx=-(y^2/2)

<模範解答>
両辺をxで微分すると
y+(dy/dx)x=0
よって、x≠0のとき
dy/dx=-(y/x)

というように解答が違います。
でもxy=2から、x≠0のときy=2/xであることは明らかですから、
-(y^2/2)=-{y(2/x)/2}=-(y/x)
となりますよね?
この場合<自分の答え>も正解ですか?

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

補足

(x^3)(y^2)=1について、dy/dxをx,yを用いて表せ。
<自分の答え>
y^2≠0のとき、x^3=1/y^2
この両辺をxで微分すると、
3x^2=(d/dx)(1/y^2)
3x^2=(dy/dx){-(2/y^3)}
∴dy/dx=-{3(x^2)(y^3)/2}

<模範解答>
両辺をxで微分すると
(3x^2)(y^2)+(x^3)(dy/dx)2y
よって、xy≠0のとき
dy/dx=-{3(x^2)(y^2)/2(x^3)y}=-(3y/2x)

こちらも解答が違っていますが、y^2=1/x^3 (x≠0) であることは明らかなので、このことを用いれば
-{3(x^2)(y^3)/2}=-(3y/2x)
であることは示せます。さらに今回は両方の解答でx,yがしっかり使われています。
この場合、<自分の答え>も正解ですか?

＞満点は貰えないでしょう。
算数で正解1/2を2/4と答えたら満点は貰えないのと同類。
∴dy/dx=-{3(x^2)(y^3)/2}
に(x^2)(y^3)=y/xを代入してdy/dx=-{3(y/x)/2}=-3y/2x
とすべきです。

お礼

分かりやすい解答ありがとうございます。
やはりこの手の問題はそのまま微分して解くべきってことですね…

回答No.2

yyssaa

この場合<自分の答え>も正解ですか?
＞不正解です。
何故なら、問題は「dy/dxをx,yを用いて表せ。」であり、
dy/dx=-(y^2/2)のままでは右辺にxが無いからです。
計算手順は関係なく、
「xy=2から、x≠0のときy=2/xであることは明らかですから、
-(y^2/2)=-{y(2/x)/2}=-(y/x)」
ここまでやれば正解になります。

お礼

ありがとうございました

補足

なるほど分かりました
実はもう一つ同じような質問があるのですが…
_____________________

(x^3)(y^2)=1について、dy/dxをx,yを用いて表せ。

<自分の答え>
y^2≠0のとき、x^3=1/y^2
この両辺をxで微分すると、
3x^2=(d/dx)(1/y^2)
3x^2=(dy/dx){-(2/y^3)}
∴dy/dx=-{3(x^2)(y^3)/2}

<模範解答>
両辺をxで微分すると
(3x^2)(y^2)+(x^3)(dy/dx)2y
よって、xy≠0のとき
dy/dx=-{3(x^2)(y^2)/2(x^3)y}=-(3y/2x)

こちらも解答が違っていますが、y^2=1/x^3 (x≠0) であることは明らかなので、このことを用いれば
-{3(x^2)(y^3)/2}=-(3y/2x)
であることは示せます。さらに今回は両方の解答でx,yがしっかり使われています。
この場合、<自分の答え>も正解ですか?

yyssaaさん以外の方からの解答もお待ちしています。

回答No.1

spring135

間違いではないが正解ではない。数学の常識に欠けるということです。

補足

詳しく説明していただけるとありがたいです