数III微分について

質問

数III微分について

学校でテストがあり、今日返却されました。
（DVD授業の）某塾に通っている自分は、そちらの教え方が好きな（というか、自分にあった先生を選んだ）ので、その方法で解答を書いていました。
しかし、『これは成り立たない』といわれ、『受験では間違いなくバツにされる』とも言われました。
進学塾なので、そんなことを教えているわけがない（答えはあっているし、説明も納得できた）ので、どうなんだろうとおもい、質問させていただきました。

解法
x^2 + y^3 = 5 を微分しなさい。

2*x*(dx) + 3*y*(dy) = 0
(dy/dx)=-(2*x/3*y)

x^2をxで微分するからdx
y^3をyで微分するからdy
をつけて、そこからdy/dxを求めていくという方法です。

どう先生に説明すればよいのでしょうか？
知恵をお貸しください。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

> 2*x*(dx) + 3*y*(dy) = 0
> (dy/dx)=-(2*x/3*y)
>
> x^2をxで微分するからdx
> y^3をyで微分するからdy
> をつけて、そこからdy/dxを求めていくという方法です。

y^3をyで微分したら3y^2ではないでしょうか。
なのでdy/dx= -2x / (3y^2)ではないでしょうか。

その説明方法だとかなり違和感を感じます。
例えば「方程式3x + 4 = 0を解きなさい」という問題に対して、
「3xを4倍して12x、4を6倍して24だから、3x + 4 = 0は12x + 24 = 0に変形できる。だから答えはx = -2」
と答えているように見えます。
この例は明らかにおかしいですよね。
等式の各項にそれぞれ全く別の操作をしたら、等式関係が崩れるはずですよね。
同様の理由で、「片方の項をxで微分、片方の項をyで微分」という風に
各項に別々の操作をしてしまうと、等式関係が崩れそうだと感じませんか？
なので学校の先生は「成り立たない」と言ったのだと思います。

それから、例えば「x^3 + 2xy + 5y^2 = 0」のような、
xyの項を含む式を微分せよと言われたらどうするのでしょうか。
x^3はxで微分、5y^2はyで微分するとして、2xyは何で微分するのでしょうか。

多分DVD授業で紹介されていた方法は、
陰関数にまつわる定理を利用しているのだと思います
(DVD授業の内容が分からないので何とも言えませんが)。
試しに学校の先生に「陰関数」に関して聞いてみてはどうでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>y^3をyで微分したら3y^2ではないでしょうか。
申し訳ありません。
問題を写し間違えて、混同したままといていました。
本当は、y^2でした。

早く解答が知りたくて、いろいろな場所で質問していましたが、
他のところで出ました。

x^2+y^2=5

これからdy/dxを求めるときに、

y^2は、2y*(dy/dx)となるから、
2x+2y(dy/dx)=0となるから、両辺にdxをかけて、
2x*dx+2y*dy=0となる
だそうです。

この解答を下さった方も、同じ塾で、同じ授業を受けていたそうです。
解決してしまい、申し訳ありませんでした。

回答No.2

noname#114871

君には定義という概念が全くないのか。
>>しかし、『これは成り立たない』といわれ、『受験では間違いなくバツにされる』とも言われました。
当然。大学でまさかそんなこと聞くなよ。マヌケものにされるだけ。
だいたい
x^2 + y^3 = 5 を微分しなさい。
何で微分？yかxどっち？
というか今の途中式を進めてもなぜおかしいということに気付かないかが不思議。
例
　　(x^n)logy＋y^n(xlogx)=4
を貴方がやった方法で微分せよって
言われたらできるのか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

>当然。大学でまさかそんなこと聞くなよ。マヌケものにされるだけ。
回答はありがたいのですが、あなたと私は見知らぬ他人。
いきなりそういうきつい言い方をされるのはどうかと思います。

>何で微分？yかxどっち？
そうですね。
解答が知りたいあまりにそのあたりを完全に忘れていました。
ですが、間違っているかもしれませんが例を書いています。
それをみて判断していただいてもいいと思いますが？

>というか今の途中式を進めてもなぜおかしいということに気付かないかが不思議。
上に同じ

で、結局のところ、質問の回答はしていただけないのでしょうか？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

答え合ってますか？違うように思うのですが・・・

＞x^2をxで微分するからdx
＞y^3をyで微分するからdy
＞をつけて、そこからdy/dxを求めていくという方法です。
確かに、これはＮＧですね。

y^3というのは、{ y(x) }^3というある種の「合成関数」になります。
ですから、xで微分するとなると、教科書どおり
d{ y(x) }^3/dx＝ 3* { y(x)}^2* dy(x)/dx

としないといけません。

塾で習ったというのは、もしかして積分の計算で、
dy/dx＝ y
dy/y＝ dx
両辺を微分して・・・（以下、略）

のような話ではなかったですか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

>答え合ってますか？違うように思うのですが・・・
あれ？
計算ミスったのでしょうか・・・
即席で作ってといたので、間違っているかもしれません。

>塾で習ったというのは、もしかして積分の計算で、
>dy/dx＝ y
>dy/y＝ dx
>両辺を微分して・・・（以下、略）
>のような話ではなかったですか？
いいえ、ちゃんと微分のテキストで、微分の講座でやっています。
これでやっても同じように答えは導き出せるので、教科書のやり方に納得できなかった自分はこの方法を愛用しているのですが・・・
何故だめかという点を疑問に思っています。

本当にだめな理由が分からないので、質問させていただいています。
塾でもやってる（今日もみましたがこのやり方でした）ので、できればこれを使いたいんです。
ちなみに、まだ積分には入ってませんので、間違えてはないはずです。