非線形常微分方程式の解法について

質問

非線形常微分方程式の解法がわかりません
d^2y/dx^2+(dy/dx)^2+4x*dy/dx+(2x)^2+2=0
よくあるように
dy/dx=p
とおいて
p'+p^2+4xp+(2x)^2+2=0
と置いてみたのですが、ここから先どう解いていけばよいのかわかりません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

＃１さんの ANo.3 の方法，(p'＋2) ＋ (p＋2x)^2 ＝ 0　を使って，
次のようにして，解けます．

(p'＋2) ＋ (p＋2x)^2 ＝ 0

に対して，

p'＋2 ＝ 0
p＋2x ＝ 0

とおきます．(c1) と (c2) を積分定数として，p'＋2 ＝ 0 を解くと，

y ＝ －x^2 ＋ (c1)x ＋ (c2)

を得ます．一方， (c3) を積分定数として，p＋2x ＝ 0 を解くと，

p ＝ －2x

y ＝ －x^2 ＋ (c3)

となります．
ここで，y＝－x^2＋(c1)x＋(c2) と y＝－x^2＋(c3) を等しくおくと，

－x^2 ＋ (c3) ＝ －x^2 ＋ (c1)x ＋ (c2)

ですから，

(c3) ＝ (c1)x ＋ (c2)

(c1)＝0

(c2) ＝ (c3)

がえられます．したがって，

y ＝ －x^2 ＋ (c2)

となります．上記の式が１つの解です．y＝－x^2＋(c2) が
与式を満たすのは，容易に確かめられます．次に，

(y1) ＝ －x^2 ＋ (c2)

として，y を

y ＝ (y1) ＋ z

とおきます．この式を２回微分して，与式の微分方程式に入れると，

z''＋2((y1)')(z')＋ (z')^2＋ 4xz'＝0

を得ます．変形すると，

z''＋(z')[2(y1)'＋ (z')＋ 4x]＝0

です．ここで，都合良く　(y1)'＝－2x　なので

z''＋(z')[2(－2x)＋ (z')＋ 4x]＝0

z''＋(z')^2＝0

となります．(d1) を (d2) 積分定数として，これを解けば，

z''＝－(z')^2

z''/(z')^2＝－1

－1/(z')＝－x ＋ (d1)

1/{x － (d1)}＝ z'

log{x － (d1)} ＋ (d2) ＝ z

故に，一般解が，

y ＝ (y1) ＋ z

y ＝ －x^2 ＋ (c2)　＋ z

y ＝ －x^2 ＋ (c2)　＋ log{x － (d1)} ＋ (d2)

となります． (c2) ＋ (d2) をあらためて， (c2) とし，
－(d1)　を　(c1) と書き換えると，一般解は，

y ＝ (c2) －x^2 ＋ log{x ＋ (c1)}

で与えられます．この一般解が与式を満たすことは，
容易に計算で確かめられます．

＃１さんのヒントが冴えてましたね！！

お礼

ありがとうございました
解くことができました

回答No.5

Knotopolog

訂正です．　中ほどの

(d1) を (d2) 積分定数として，

は，

(d1) と (d2) を積分定数として，

です．

慌て者で，すいません．

回答No.3

Tacosan

あ, 「2乗」をつけ忘れた. わかるとは思いますが
(p'+2) + (p+2x)^2 = 0
です.

お礼

ありがとうございました
解くことができました

回答No.2

Tacosan

p'+(p+2x)^2+2=0
をちょっと変形して
(p'+2) + (p+2x) = 0
としたらなにか見えますか?

回答No.1

Tacosan

p^2+4xp+(2x)^2=?

お礼

回答ありがとうございます
そこを平方完成して
p'+(p+2x)^2+2=0
となったのですが、この先もわかりません
もう少しヒントをいただけないでしょうか