微分方程式の微分演算子による解法
- 大学院入試の準備中の質問者が、微分方程式の解法について教えてほしい。
- 具体的には、微分演算子を用いた解法について知りたいとのこと。
- 問題文を提示し、既存の書籍では解説がなかったため質問している。
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微分方程式の微分演算子による解法
来月上旬に大学院入試を受けるので、それに向けて現在勉強中です。 微分方程式で分からない問題があったので教えてください。 特に微分演算子を用いた解法に従って解く方法を教えていただければと思います。 (それ以外の解き方も参考になるので教えていただけたら助かります。) 問題は (1) (D^4+2D^2+1)y=x*sin(x) (2) y'''-2y'+4y=(e^x)*cos(x) Dy=y'=dy/dxです。 私の持っている本では、定係数非同次線形常微分方程式をΦ(D)y=f(x)と表したときに、Φ(D)が既約実2次式を持つ場合、非同次項f(x)が ・多項式 ・e^(ax) ・cos(ax) ・sin(ax) の場合のみについて解説してあり、上記のような項についての計算がわからなかったので質問させていただきました。
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(1) (D^4+2D^2+1)y=x・sin(x) (2) y'''-2y'+4y=(e^x)・cos(x) (1) D^4+2D^2+1 = (D-i)^2・(D+i)^2 (・は掛け算の意) 余関数はy1 = (a1+a2・x)・cosx+(b1+b2・x)・sinx 特殊解y2は y2 = x・sin(x)/(D^4+2D^2+1) = x・sin(x)/(D^2+1)^2 = 1/2・(sinx・∫{cosx・xsinx{dx-cosx・∫{sinx・xsinx}dx) -1/2・(cosx・∫{∫{cosx・xsinx}dx}dx) + sinx・∫{∫{sinx・xsinx}dx}dx) 面倒なので後は計算してみて・・・! 一般解 = 余関数+特殊解 だから y = y1+y2 (2) (D^3-2D+4)y = (e^x)・cos(x) (D^3-2D+4) = (D+2)(D^2-2D+2) D = -2,1±i 余関数y1は y1 = c1・e^(-2x)+e^x・(c2・sinx+c3・cosx) 特殊解y2は y2 = (e^x)・cos(x)/(D^3-2D+4) = 1/10・(1/(D+2)-(D-4)/(D^2-2D+2)) ・(e^x)・cos(x) = 1/10・(1/(D+2)-D/((D-1)^2+1)+4・(1/((D-1)^2+1))・(e^x)・cos(x) = 1/10・{e^(-2x)・∫{e^(2x)・(e^x)・cos(x)}dx -(e^x・{(sinx+cosx)・∫{e^(-x)cosx・(e^x)・cos(x)}dx-(cosx-sinx)・∫{e^(-x)sinx・(e^x)・cos(x)}dx}) +4・(e^x・sinx・∫{e^(-x)・cosx・(e^x)・cos(x)}dx-e^x・cosx・∫{e^(-x)・sinx・(e^x)・cos(x)}dx)} 面倒なので後は計算してみて・・・! y = y1+y2
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