完全微分方程式

質問

P(x,y)dx+Q(x,y)dy
=(cos(x)y^2 + 2xcos(y) + y^2)dx + (2ysin(x) + -sin(y)x^2 + 2xy)dy
=0
という完全微分方程式の解き方を出来れば分かりやすく教えてください
お願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

>(cos(x)y^2 +2xcos(y)+y^2)dx+(2ysin(x)+ -sin(y)x^2 + 2xy)dy
質問者さんの上式は正しくは
正：(cos(x)y^2 +2xcos(y)+y^2)dx+(2ysin(x)-sin(y)x^2 + 2xy)dy

A#1の式の2行目
>={cos(x)y^2dx+2ysin(x)dy}+{(y^2)dx+2xydy}
はコピーして貼り付けた際、2行目だけ、1つの中括弧の項が抜け落ちましたので追加訂正します。

2行目
正：={cos(x)y^2dx+2ysin(x)dy}+{2xcos(y)dx+x^2(-sin(y))dy}+{(y^2)dx+2xydy}

2行目は全微分の公式：
(∂f(x,y)/∂x)dx+(∂f(x,y)/∂y)dy=df(x,y) ...(※)
が適用できるように関係する項ごとに中括弧でまとめた式です。

A#1の補足質問の
>{cos(x)y^2dx+2ysin(x)dy}+{(y^2)dx+2xydy}
上述の追加訂正の項「{2xcos(y)dx+x^2(-sin(y))dy}」を
式の真ん中に加えて下さい。そして全微分の公式を各中括弧に適用すれば

>=d(sin(x)y^2)+d(x^2cos(y))+d(xy^2)

の式になります。

全微分の公式(※)は教科書の微分方程式のところに載っているはずです。参考URLもご覧下さい。
参考URL
ttp://mathematical.jp/black_scholes/total_differential.html

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5112/zen.html

補足

すみません、コピーした時に+を消し忘れていました
教科書は持ち合わせていないので参考URLや検索をして確認して来ました
そして、4行目までは理解出来たのですが、
d{(sin(x)y^2)+(x^2cos(y))+(xy^2)}
=0=d(C) (Cは任意定数)
というのは、(sin(x)y^2)+(x^2cos(y))+(xy^2)の微小の変化量が0、つまりx、yがどう動こうと変化しない定数ということでよろしいのでしょうか？
また、
積分して
∴(sin(x)y^2)+(x^2cos(y))+(xy^2)=C
とありますが、これは単純化すると
dx=dyの両辺を積分(両辺に∫をつける)して∫dx=∫dyからxとyが出てきたようにCや(sin(x)y^2)+(x^2cos(y))+(xy^2)が前に出てきたということでよろしいのでしょうか？

回答No.1

info22_

(cos(x)y^2 + 2xcos(y) + y^2)dx + (2ysin(x) + -sin(y)x^2 + 2xy)dy
={cos(x)y^2dx+2ysin(x)dy}+{(y^2)dx+2xydy}
=d(sin(x)y^2)+d(x^2cos(y))+d(xy^2)
=d{(sin(x)y^2)+(x^2cos(y))+(xy^2)}
=0=d(C) (Cは任意定数)
積分して
∴(sin(x)y^2)+(x^2cos(y))+(xy^2)=C

補足

{cos(x)y^2dx+2ysin(x)dy}+{(y^2)dx+2xydy}
=d(sin(x)y^2)+d(x^2cos(y))+d(xy^2)
何故こうなるのでしょうか？