微分方程式の解き方

質問

dx/dt = x - (x + y)(x^2+y^2)^(1/2)
dy/dt = y - (x - y)(x^2+y^2)^(1/2)
という微分方程式があります。

この方程式の解を厳密に求めることはできないようですが、

(x^2+y^2)^(1/2) = r
x = r cosθ
y = r sinθ

と置くことにより、上記の微分方程式の答えが、

dθ/dt = r
dr/dt = r(1-r)

を満たすことが分かるそうです。

ところで、上の微分方程式からどうやってこれを導くのでしょうか？勘でしょうか？

回答No.1

mmky · ベストアンサー

(x^2+y^2)^(1/2) = r
x = r cosθ
y = r sinθ

dx/dt = x - (x + y)(x^2+y^2)^(1/2)
=r cosθ - r(r cosθ + r sinθ)
=r(1-r)cosθ - r^2 sinθ ---(1)

dy/dt = y + (x - y)(x^2+y^2)^(1/2)
=r sinθ - r(r cosθ+ r sinθ)
=r(1-r)sinθ + r ^2 cosθ ---(2)

x = r cosθ
y = r sinθ
dx/dt = (dr/dt) cosθ - r (dθ/dt) sinθ ---(3)
dy/dt = (dr/dt) sinθ + r (dθ/dt) cosθ ---(4)

(1) =(3), (2)=(4)

dθ/dt = r
dr/dt = r(1-r)

になるので、与式は
dx/dt = x - (x + y)(x^2+y^2)^(1/2)
dy/dt = y + (x - y)(x^2+y^2)^(1/2)
が正しいのでは。

お礼

あっ、ありがとうございます。
私のミスまで、、、そのとおりです。