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微分方程式の解き方

dx/dt = x - (x + y)(x^2+y^2)^(1/2) dy/dt = y - (x - y)(x^2+y^2)^(1/2) という微分方程式があります。 この方程式の解を厳密に求めることはできないようですが、 (x^2+y^2)^(1/2) = r x = r cosθ y = r sinθ と置くことにより、上記の微分方程式の答えが、 dθ/dt = r dr/dt = r(1-r) を満たすことが分かるそうです。 ところで、上の微分方程式からどうやってこれを導くのでしょうか?勘でしょうか?

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  • mmky
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(x^2+y^2)^(1/2) = r x = r cosθ y = r sinθ dx/dt = x - (x + y)(x^2+y^2)^(1/2) =r cosθ - r(r cosθ + r sinθ) =r(1-r)cosθ - r^2 sinθ ---(1) dy/dt = y + (x - y)(x^2+y^2)^(1/2) =r sinθ - r(r cosθ+ r sinθ) =r(1-r)sinθ + r ^2 cosθ ---(2) x = r cosθ y = r sinθ dx/dt = (dr/dt) cosθ - r (dθ/dt) sinθ ---(3) dy/dt = (dr/dt) sinθ + r (dθ/dt) cosθ ---(4) (1) =(3), (2)=(4) dθ/dt = r dr/dt = r(1-r) になるので、与式は dx/dt = x - (x + y)(x^2+y^2)^(1/2) dy/dt = y + (x - y)(x^2+y^2)^(1/2) が正しいのでは。

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質問者からのお礼

あっ、ありがとうございます。 私のミスまで、、、そのとおりです。

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