微分方程式の解法を教えてください！

質問

常微分方程式の解法はどんなものがあり、どのような場合に適用すれば解けるでしょうか。
解法を覚えても、それが適用される場合についての判断ができません。教えてください！

以下の場合だとどのように解けばよいでしょうか。

（１）d^2x/dt^2＋ω^2x=0の一般解の求め方。（ωは定数）
（２）dx/dt=-c^2y、
dy/dt=c^2x　の一般解の求め方。（cは定数）

（３）dx/dt=u、
　　　du/dt=-kx-cu＋f(t) (k,cは定数)
　のとき
　(1)f(t)=0のとき、t=0でx=x0のもとでの解を求め　　　る。
　(2)f(t)=cosωtのときの解。

回答No.1

info22

一部だけ
(1)斉次方程式　x"＋ω^2x=0の特性方程式:
s^2 +ω^2=ゼロの根 s＝±iωから
一般解はx=c1 exp(iωt)+c2 exp(-iωt)=C sinωt + C' cosωt

(2)x'=-c^2y→x"=-c^2 y'
=-c^2 ×c^2 x=-c^4 x　→x"+c^4 x=0
(1)のωをc^2で置き換えた形ですね。
→　x=C sin{(c^2)t} + C' cos{(c^2)t}
y=-c^(-2)x'=....
後はできますね。

(3)x'=u→
x"=u'=-kx-cu＋f(t)
=-kx - c x' +f(x)
x"+ c x' +k x=f(t)
(3)-(1) x"+ c x' +k x=0
判別式D=(c^2 -4k)で場合わけして一般解を求める。
各場合について、初期値を入れて定数を減らす。
結果をu=x'に代入してu(t)を求める。
後はできますね。やってください。

(3)-(2)x"+ c x' +k x＝cosωt
特殊解を x=A sinωt + Bcosωtとおいて上の式に代入してAとBを求めてください。これをxの式に代入して特殊解を確定してください。
一般解は、斉次方程式：
x"+ c x' +k x=0の一般解と上で求めた特殊解を加えて(3)-(2)の解とします。

後はご自分で考えてみてください。
ご自分でできると思います。