微分方程式の解法

質問

(1)(ｄ^2ｘ)／(ｄｔ^2)＝ｂ
　条件：ｔ＝０、ｘ＝０、dx／dt＝０

(2)(ｄ^２ｘ)／(ｄｔ^2)＋ａ(ｄｘ)／(ｄｔ)＝ｂ
　条件：(1)と同じ

(3)(ｄｙ)／(ｄｔ)＋ａｙ^2＝ｂ
　ただし、ａ＞０、ｂ＞０
　条件：ｔ＝０、ｙ＝０

の解法を教えて下さい。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

#2ですが,補足です.

(2)は
＞X＝(b/a)[t＋{exp(-at)－1}/a] (a≠0のとき)
よりは
X＝(b/a^2){exp(-at)－1+at} (a≠0のとき)・・・(答)
の形に書いた方が良いですね.
exp(-α)＝1-α+α^2／2!-α^3／3!+・・・
のテイラー展開を考えれば, (1)とのつながりが分かりやすいでしょう.
[(1)は (2)のa→0になっている.]

回答No.2

oshiete_goo

(2)d^2X／dt^2＋adX／dt＝b　・・・(＊)
とすると，dX／dt＝p　とおいて
(＊)⇔dp／dt＋ap＝b
⇔dp／dt＝－(ap－b)
⇔dp／(ap－b)＝－dt [変数分離形]

a≠0の場合として解く．(a=0　は（１）に帰着される)
積分して
(1/a)log(ap－b)＝－t+C'　[C'：定数]
log(ap－b)＝-at+aC'
ap-b＝Aexp(-at) [A:定数]
t＝0のとき p=dX/dt=0　より　A=-b
ap＝b{1-exp(-at)}
p＝dX／dt＝(b/a){1-exp(-at)}
これをtで積分して　t＝0　のとき　X=0　の条件を使うと
X＝(b/a)[t＋{exp(-at)－1}/a] (a≠0のとき)

回答No.1

mmky

「解法を教えて下さい。」ですね。

(1)(ｄ^2ｘ)／(ｄｔ^2)＝ｂ
　条件：ｔ＝０、ｘ＝０、dx／dt＝０
加速度の式ですね。
単に時間で積分すればいいのです。
１回で速度、2回で距離がでますね。
条件をわすれないように。
∫X’’ｄｔ=X'=ｂｔ+ｃ
X'=dx／dt＝０, c=0
∫X’ｄｔ=X=(1/2)ｂｔ＾2

(2)(ｄ^２ｘ)／(ｄｔ^2)＋ａ(ｄｘ)／(ｄｔ)＝ｂ
　条件：(1)と同じ
X''+aX'=ｂ
X=e＾pｔ　と置いてみてください。
p＾2+ap-b=0
p={-a±√(a＾2-4b)}/2
から
X=c1e＾p1ｔ+c2e＾p2ｔ
の形式になりますね。

(3)(ｄｙ)／(ｄｔ)＋ａｙ^2＝ｂ
　ただし、ａ＞０、ｂ＞０
　条件：ｔ＝０、ｙ＝０
ｙ’＋ａｙ^2＝ｂ
ｙ’=-(ａｙ^2-b)
dy/(ａｙ^2-b)=-dt
この形式で両辺を積分すればOKかな。

参考程度まで