微分方程式の種類と解法について。

質問

現在、以下のような微分方程式が解けなくて困っています。

(d^2/dx^2)T+a*(d/dx)T+b*(d^2/dy^2)T=0

全ての項がxについての微分であれば簡単に解けるのですが、

最後の項がyについての微分であるため解けません。

分かる方はぜひ教えてください。

回答No.4

Knotopolog

＃２です．

与えられた偏微分方程式：

(∂^2/∂x^2)T＋a*(∂/∂x)T＋b*(∂^2/∂y^2)T＝0 に対して，

T(x,y)＝f(x)＋g(y)

とおいた解は，実際に存在します．（下記参照）

T(x,y)＝{exp(-ax)}{c＋A∫x・exp(ax) dx}＋(E/a)＋(B/2b)y^2＋Cy＋D

A＋B＝0, a, c, A, B, C, D, E は定数．

この解 T(x,y)は，与えられた偏微分方程式：

(∂^2/∂x^2)T＋a*(∂/∂x)T＋b*(∂^2/∂y^2)T＝0 を満たします．

勿論，(∂^2/∂x∂y)T＝0 も満たします．

回答No.3

rnakamra

#2のとき方ですが、これは間違っています。
なぜならT(x,y)=f(x)+g(y)と置けるという前提が間違っているからです。
このようにおけるのは(∂^2/∂x∂y)T(x,y)=0となる場合に限定されてしまうからです。このような前提は存在しないため、この表現は間違っていることがわかります。

回答No.2

Knotopolog

与えられた偏微分方程式
(∂^2/∂x^2)T＋a*(∂/∂x)T＋b*(∂^2/∂y^2)T＝0に対して，
T(x,y)＝f(x)＋g(y)とおくと＃１さんの解とは異なる別の解が得られます．

T(x,y)＝f(x)＋g(y)

(∂/∂x)T＝f'(x)

(∂^2/∂x^2)T＝f''(x)

(∂^2/∂y^2)T＝g''(y)

(∂^2/∂x^2)T＋a*(∂/∂x)T＋b*(∂^2/∂y^2)T＝

＝ f''(x) ＋ a*f'(x) ＋ b*g''(y) ＝0

ここで，A，B を任意定数として，

　　f''(x) ＋ a*f'(x)＝A

　　b*g''(y)＝B，　　A＋B＝0　　A≠0，B≠0

とおきます， f''(x)＋a*f'(x)＝A は，両辺を x で積分すると

　　f'(x) ＋ a*f(x) ＝ A*x ＋ E

E は積分定数です．上式は，１階常微分方程式ですから，積分できます．

一方，b*g''(y) ＝B は，両辺を y で２回積分すると

　　g'(y) ＝ (B/b)*y ＋ C

　　g(y) ＝ (B/2b)*y^2 ＋ C*y＋D

となります．C，D は積分定数です．したがって，f'(x)＋a*f(x)＝A*x＋E の解と

g(y)＝(B/2b)*y^2＋C*y＋D により，１つの解：T(x,y)＝f(x)＋g(y)が得られます．

なお，与えられた偏微分方程式：(∂^2/∂x^2)T＋a*(∂/∂x)T＋b*(∂^2/∂y^2)T＝0
は，一般解を得る積分が出来ないように思います．
一般的には，解けないと言うことです．

回答No.1

rnakamra

これは常微分方程式ではなく、偏微分方程式
(∂^2/∂x^2)T+a*(∂/∂x)T+b*(∂^2/∂y^2)T=0
ですね?
そうであれば、T(x,y)=f(x)g(y)とxだけの関数とyだけの関数の積に置き換えます。
するとxでの偏微分ではyの関数は定数とみなせ、その逆も成り立ちますから、
g(y)(d^2/dx^2)f(x)+a*g(y)*(d/dx)f(x)+b*f(x)*(d^2/dy^2)g(y)=0
となります。(変数が一つだけになりましたので常微分の形になります)
これを変形すると
{(d^2/dx^2)f(x)+a*(d/dx)f(x)}/f(x)=-b*{(d^2/dy^2)g(y)}/g(y)
この式の左辺はxだけの関数であり、右辺はyだけの関数。これが恒等的に成り立つためにはこの両辺が定数である場合に限られます。
その値をcとでもおくと、f(x),g(y)に対して2階の微分方程式を解く問題に帰結します。(以下略)