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微分方程式
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すみません、よくわからないです>< 展開してみたものの、どうしてよいか分かりませんでした・・・: e^(-x)・(d/dx)^2(e^(x)・y(x)) =e^(-x)・(d/dx)(e^x・y’+e^x・y) =e^(-x)・(e^x・y”+2・e^x・y’+e^x・y) =y”+2・y’+y です。 これは問題の左辺そのものですね。 以上から問題の方程式は e^(-x)・(d/dx)^2(e^(x)・y(x))=e^(-x) すなわち (d/dx)^2(e^(x)・y(x))=1 と全く同等ということになります。 これを解くのはは簡単ですね。 一気に答えは求まり e^(x)・y(x)=x^2/2+a・x+b すなわち y(x)=(x^2/2+a・x+b)・e^(-x) 任意定数a,bは初期条件から求まります。
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- ryn
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もう解決しているようなので蛇足になりますが、 exp 関数は微分すると (d/dx)e^(-x) = - e^(-x) のようにもとと同じような形が出てくることから、 y = f(x)*e^(-x) とおいて f(x) を求めるというのも方針のひとつです。
お礼
ご回答ありがとうございます!! なるほど、そのようなやり方もあるんですね! やってみようと思います。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
y=(x^2*e^-x)/2 になりました! No.2の方の解き方でもこうなりましたが、あまり自信がありません・・・ 合ってるとよいのですが。。。: y=(x^2*e^-x)/2 と書くと誤解を受けます。 y=(x^2*e^(-x))/2 とすべきです。 y=x^2*e^(-x)/2 と書いたほうが見やすいですね。 または y=e^(-x)*x^2/2 と書いてもいいでしょう。
お礼
急いで書いたもので、、、すみませんm(_ _)m 今後、気をつけます。 これでやっと先に進めます!! 夜遅くまでお付き合いして頂いて、本当にありがとうございました!
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
参考程度に (d^2y/dx^2)+2(dy/dx)+y=e^(-x) 条件:x=0のとき、y=0, dy/dx=0 (D^2+2D+1)y=e^(-x) と置いて、 η=e^(-x)/(D+1)^2 =e^(-x)/(-1+1)^2=e^(-x)/0 では困るので、分母がゼロにならないように、 左右で2回微分しておくと、 φ(D)=(D^2+2D+1) φ''(-1)=2, {φ(-1)=φ'(-1)=0 故 } だから特別解は、 η=x^2*e^-x/φ''(-1)=(x^2*e^-x)/2 一方 (D^2+2D+1)y=0, D=-1 :重根から y=(C1+C2*x)e^-x で求める一般解は、 y=(C1+C2*x)e^-x+(x^2*e^-x)/2 これに条件:x=0 のとき、y=0, dy/dx=0 を入れるということですね。 そんな感じですね。
お礼
ご回答ありがとうございます!! 特別解がよくわかってなかったみたいです^^; y=(C1+C2*x)e^-x+(x^2*e^-x)/2 に条件:x=0 のとき、y=0, dy/dx=0 を入れると、C1=0、C2=1となり、 最終的に y=xe^-x+(x^2*e^-x)/2 となりましたが 合ってるのでしょうか?? すみません、数学苦手なもので・・・
補足
お礼のところに書いてるのは間違いです! 計算したら、y=(x^2*e^-x)/2 になりました。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
問題の左辺は次の式と同じです。 e^(-x)・(d/dx)^2(e^(x)・y(x)) 実際に上の式を展開してみてください。
お礼
ご回答ありがとうございます!! すみません、よくわからないです>< 展開してみたものの、どうしてよいか分かりませんでした・・・
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お礼
再度ご回答ありがとうございます!! 丁寧に書いて下さってありがとうございますm(_ _)m 計算してみると、a=0,b=0 で、 y=(x^2*e^-x)/2 になりました! No.2の方の解き方でもこうなりましたが、あまり自信がありません・・・ 合ってるとよいのですが。。。