微分方程式の解法

質問

d^2y/dx^2+2*x*dy/dx=0
境界条件 x=0: y=1、x→∞: y→0
この２階の微分方程式を解けという問題ができません。
dy/dx=z と置いて、１階の微分方程式にして解こうとしたのですが、exp(-x^2)が出てきてしまいました。これは確率積分みたいに積分できるのでしょうか。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

普通、そうやるでしょう。

z = A e^(-x^2) から
y = A ∫{e^(-x^2)}dx + B {A,B は定数} と積分して、
境界条件から、
y = (2/√π)∫[t=x→∞]{e^(-t^2)}dt.

∫[t=x→∞]{e^(-t^2)} は
= (√π)/2 - ∫[t=0→x]{e^(-t^2)} とか変形してもいいが、
いづれにせよ、不定積分 ∫{e^(-x^2)}dx が初等関数でないから、
これ以上平易には書きようがない。

A を決めるときに、ガウス積分を使うね。

お礼

回答ありがとうございました。