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簡単な微分方程式がとけない！！
一階微分方程式を解いたのですが、検算であいません。どこがおかしいのでしょうか？ （d/dx-n/x+1/n）y=0 ⇔dy/dx=(n/x-1/n)y ⇔1/y dy/dx=n/x-1/n (ｙで割って、変数分離) ⇔∫dy/y = ∫(n/x-1/n)dx (xで積分) ⇔Log(y) = nLog(x)-x/n+c (cは定数) ⇔y＝c' exp(n) xexp(-x/n) （c'＝exp(c)） yは求まります。しかし検算すると、 dy/dx ＝c' exp(n) exp(-x/n)-c'/n exp(n) xexp(-x/n) となり、 (n/x-1/n)y＝(n/x-1/n)c' exp(n) xexp(-x/n) ＝c' exp(n){nexp(-x/n)-1/n xexp(-x/n)) ＝c' exp(n) nexp(-x/n)-c'/n exp(n) xexp(-x/n) となって、n倍異なる部分があります。どこが間違いなんでしょうか？私はまったく矛盾に気が着ませんが、間違っているように見えます。どなたか知恵を貸してください。
- buxc1988
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>Log(y) = nLog(x)-x/n+c (cは定数) ⇔y＝c' exp(n) xexp(-x/n) （c'＝exp(c)） ここがおかしいですね． Log(y)=Log(x^n)+Log(exp(-x/n))+Log(exp(c)) ですから y=c'(x^n)exp(-x/n) です． これでもう一度検算しなおしてください．
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- cametan_42
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答えは y＝Const*exp(-(x-(n^2)*log(x))/n) だと思いますよ。 だから……計算の4行目から5行目の変換がおかしいのかな? 多分、 y＝Const*(x^n)*exp(-x/n) になると思うんですが……。
お礼
ありがとうございます。間違いに気がつくことができました。
最後の変形が間違えています。 exp{nLog(x)} ≠ exp(n)*x
- c_850871
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失礼しました． こちらの勘違いです．
- c_850871
- ベストアンサー率53% (49/91)
2行目の式の意味が分かりません． d/dxはdy/dxの間違いですか?
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