微分方程式

質問

dy/dx = f(y/x)
の形の微分方程式で
y/x = z すなわち y=xz とおき、未知数関数yからzに変換すると
dy/dx = z + x(dz/dx)・・・(1)
である。

なぜ(1)の式になるのでしょうか？
教えて下さい。

回答No.2

alkantala · ベストアンサー

ｙはｘを変数とする未知関数ですから、
(☆) y/x = z
とおいたときｚもｘを変数とする未知関数です。(☆)から
(☆☆) y = xz
ここで両辺をｘで微分すると
左辺 = dy/dx
右辺 = d(xz)/dx = (dx/dx)z + x(dz/dx) = z + x(dz/dx)
右辺の計算で積の微分
d(fg)/dx = (df/dx)g + f(dg/dx)
を f(x)=x, g(x)=z
として用いています。
（ｚはｘを変数とする関数であったことを思いだして下さい。）
右辺と左辺の計算から
dy/dx = z + x(dz/dx)
です。

お礼

回答ありがとうございます。
くわしく書いて頂いてありがとうございます。

回答No.3

matelin

dy/dx = f(y/x)
という関係があるということは、ｙはｘだけの関数であると言うことです。
また、ｚ＝y/x　と上のことより、 ｚもｘだけの関数である、ことになります。
そこで、ｙ＝ｘｚ　の左辺も右辺もｘだけの関数であるのですから、各辺をｘで微分することを考えることができます。
　（左辺をｘで微分したもの）＝dｙ／dｘ
　（右辺をｘで微分したもの）＝（dｘ／dｘ）・ｚ＋ｘ・（dｚ／dｘ）
　　　　　　　　　　　　　　＝ｚ＋ｘ・（dｚ／dｘ）
上の第２式では、次の微分の公式を利用しました。
　　ｄ｛ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）｝／dｘ
　　　　　＝ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）

（左辺）＝（右辺）　から、
（左辺をｘで微分したもの）＝（右辺をｘで微分したもの）
と言えますから、あなたの（１）式が成り立つわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
よく理解できました。

回答No.1

osamuy

単に、積の微分公式を適用しただけでは。

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/prod.htm

お礼

回答ありがとうございます。
ほんとに簡単な積の微分でした。