偏微分方程式の解き方

質問

x(y-z) (∂z/∂x) + y(z-x) (∂z/∂y) = z(x-y)

この微分方程式を解く問題で、解答を見ても、理解できない部分があるため、質問させていただきます。

～解答～

補助方程式
dx/x(y-z) = dy/y(z-x) = dz/z(x-y)

これより、
(1/x)dx / (y-z) = (1/y)dy / (z-x) = (1/z)dz / (x-y)
と変形できます。
ここまでは分かるのですが、

これに加比の理を適用すると、
d(logx+logy+logz) / 0
= ((1/x)dx+(1/y)dy+(1/z)dz) / ((y-z)+(z-x)+(x-y))
= (1/x)dx / (y-z)
= (1/y)dy / (z-x)
= (1/z)dz / (x-y)

↑ここの1つ目のイコールが何故、成り立つのかが理解できません。
d(logx+logy+logz)を計算したら、1/x + 1/y +1/z　になってしまわないでしょうか？
逆に、積分してlogになったのだとしても、dが残る理由が理解できません。

よろしくお願いします。

一応、続きも書いておきます。

ここで、d(logx+logy+logz) / 0　より、
d(logx+logy+logz) / 0 = d(logxyz) = 0
よって、logxyz = C'
ゆえに、xyz = C　（積分定数）

このあと、もう１つの解を出して、一般解とします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

d(logx)/dx=1/x
から
d(logx)=(1/x)dx
が導けるでしょう。y,zについても同様だから
d(logx+logy+logz)=(1/x)dx+(1/y)dy+(1/z)dz
ですよね。分母は(y-z)+(z-x)+(x-y)=0です。

お礼

ありがとうございました。
dの記号について、しっかり見直そうと思います。

回答No.1

f272

d(logx+logy+logz)=1/x + 1/y +1/z
だと考えてるんですか？言い換えると
d(logx)=1/x
ですか？
高校生のときに習うのは
d(logx)/dx=1/x
でしょう。どう見ても上の式と違いますよ。

お礼

ありがとうございます。
失礼しました、勘違いしていました。

しかし、そうだとしてもやはり理解できません。
dx、dy、dzはどこにいってしまったのでしょうか？