微分方程式つまらなさすぎる（？）悩み

質問

(1)　dy/dx=f(ax+by+c)のときax+by+c=zとおいて
zに関する微分方程式を作れ。

(2)　(1)を利用して、微分方程式dy/dx=x+y+1を解け。

この問題について質問があります。まず（１）についてですが、
答えが　dz/dx=a+bf(z)　でした。私はもっと変形できるのかと
思いずっと悩んでいました。でもこれが答えだったんです。
何をもって”微分方程式”というのでしょうか？また（１）の答えは
これ以外にはあり得ないのでしょうか？例えばdxじゃなくてdy
が入っていてもいいと思うし、なぜxが選択されたのか不明です。

次に（２）の解説の中で、x+y+1=zとおくと、（１）から
dz/dx=1+z・・・(1)　1+z=0 は(1)の解である。・・・
となっていました。なんで1+z=0 が(1)の解になるのでしょうか？
これはすなわちdz/dx=0 ということだと思うのですが何をもって
この解が導かれたのかさっぱりです。脚注にも説明はありませんでした。
またf(z)がzと表記が変わったことにも違和感を覚えます。
回答よろしくお願いします。

回答No.2

totoro7683 · ベストアンサー

No.1です。
＞これはz=-1のとき、右辺=0、左辺は-1をxで微分したら0、よって
左辺と右辺が等しい、ということでしょうか？

その通りです。

＞またf(z)がzという表記になったことについての助言等ございましたら
お願いします。

これについてですが、
（２）は（１）を利用して解きなさいということです。
ではどのようにしたら（１）が利用できるか考えます。
（２）の方程式の形から
ｆ（u）＝uとおくと
dy/dx=f(x+y+1)（＝ｘ＋ｙ＋１）とかけますね。
z=x+y+1とおいて
これに（１）を適用すると
dz/dx=1+f(z)=1+z
が導けます。

お礼

回答ありがとうございました。
恒等の意味納得できました。

補足

もしかしたらすごい誤解していたような気がします。
もしかして、f(z)=z というのはこの問題において、
たまたま成り立つということであって、どんな問においても、
f(X)=X　が成り立つわけではないということでしょうか？

なんかすごい変な質問しているような気がしますが、
毎日この問に向かっているせいか、問に対して一歩引いた
視点で見れずに、つまり大きな流れ（？）が見えず、
もやもやしています。一月後とかに解きなおせば簡単に
解けるようになっているのかもしれませんが、放置するのも
気が引けるので。お時間のあるときにでも回答いただけたら
と思います。自分の頭の整理もこめて、時間が空く分には
全く問題ないので少し締め切らずにおきます。

回答No.3

toranekosan222

#1の人とは別の意見です。
「（１）で、yについてでもよいではないか。」
に関して、良いと思います。
微分方程式の関係自体は、xとyを一対一で結び付けているので。この点でyとxは等価なんです。

dy/dx=1/(dx/dy)が完全に成り立ちますので。

さらにfはzの関数であり、zはxとyの関数であるので、xとyはほとんどおなじ意味合いを持ちます。

この考えで問題を解いてみましょう。
dy/dx=f(ax+by+c)=f(z)
dz/dy=a dx/dy+b
(dz/dy-b) dy/dx=a
(dz/dy-b)f(z)=a
f(z) dz/dy -b f(z)=a　　　　　　　ーーーーーーーーーーー（B)

(2) dy/dx=x+y+1
（B)より
z=x+y+1, f(z)=z
z dz/dy -b z =a
b=1,a=1,c=1
z dz/dy-z=1　ーーーーーーーーーーー（A)
z dz/dy=1+z

ここで、すべてのyにおいて、微分係数が０となるような場合、つまり、1+z=0を選んだとき、z=-1は解となる。というのは、zに関する方程式を満たすから。微分方程式の解とは、微分方程式を満たす全ての関数を表す。このような解は特異解と呼ばれる。

よって、
z/(1+z) dz/dy=1
( 1-1/(z+1)) dz/dy=1
z-log(z+1)=y+C

さらに、x=y=0のとき、z=1なので、Cが決定できますね。

お礼

yの視点で解いてみました。
特異解は特別解ってやつと意味は同じですよね、たぶん。
＞( 1-1/(z+1)) dz/dy=1
＞z-log(z+1)=y+C
ここは一瞬悩みましたが頭でっかちを直して
積分ですね。なんかこんなのも自然に出来ず
考えてしまうのがまだまだ未熟さを感じてしまいます。
難しいですね。回答ありがとうございました。

回答No.1

totoro7683

微分方程式とは独立変数と未知関数およびその導関数との関係式です。
dy/dx=f(ax+by+c）の場合yを未知関数、ｘを独立変数とみています。
問題はax+by+c=zを新たに未知関数とみなしてそれの微分方程式をつくればいいのです.zを微分してdz/dx=a+bdy/dx=a+bf(z)がその答えです。これが関係式になっています。
なぜｘが独立変数として採用されたかですがこれは元の微分方程式がxを独立変数としているからです。独立変数をxからyに置き換えることも出来ますが、不自然でしょう。
次に（２）ですが（１）より
dz/dx=z+1
このタイプの微分方程式の解き方は
dz/z+1=dxと変形して
∫dz/z+1=∫dx
log|z+1|=x+A
z+1=Ce^x（Cは０以外の実数）　（＊）
とするのですが、
ここで問題はz＋１で割っていることです。
この解法はz＋１が０でないときに有効で０のときは
個別に調べてやる必要があるのです。
ｚ＋１＝0のときつまりｚ＝－１のとき
恒等的にｚ＝－１という解は明らかに微分方程式の解になっています。
これがz＝－１となる解です。（難しいことをいうと解の一意性より
これ以外の解はない）
結局答えは
ｚ＋１＝Ce^x（Cは任意の実数）
となります。
（＊）との違いはCに０が入っていることです。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
ｘが独立変数として採用された理由納得できました。

補足

＞恒等的にｚ＝－１という解は明らかに微分方程式の解になっています
これはz=-1のとき、右辺=0、左辺は-1をxで微分したら0、よって
左辺と右辺が等しい、ということでしょうか？

またf(z)がzという表記になったことについての助言等ございましたら
お願いします。例えばf(x)をxと表記してしまうのはまずいと思うのですが、
ここでは説明無しに用いられていることが気になります。