微分方程式に関する問題です。

質問

(x^2){(d^2)y/d(x^2)} - x(dy/dx) + y = x^3　　　　(*)

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(1)y = xφ(x)が微分方程式(*)の解であるとき、φのみたす微分方程式を求めよ。

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y = xφ(x)からy' , y''を計算して代入し、
φ''(x) = x/2
となりました。（答えの書き方はこれでいいのか分かりません。）
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(2)φ'(x)を求めよ。

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(1)の答えの両辺を積分して
φ'(x) = (x^2)/4 + C
となりました。
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(3)微分方程式(*)の一般解を求めよ。

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（３）のとき方が分かりません。
どのようにして解いていけばいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

rnakamra

#1の補足について、その2

よく見ると、最後の式はあっている。途中が間違っているのになぜあっているのだろう?単なる写し間違いとは到底思えない。
(y''にいたっては項数が異なる。これでまともな解が得られたとなると問題を真剣に解いているのか疑わしくなる。)

補足

回答ありがとうございます＾＾
すいません。
まじめにといてます。。
問題文だけしかなく解答もないので。。。
もう一回といてみます。
すみません。

回答No.2

rnakamra

#1の補足について
>y' = φ(x) - xφ'(x)
ここから間違い。
y'=φ(x)+xφ'(x)
です。

φ(x)の微分方程式を作ったあと、少しばかり工夫が必要です。
まずは、φ(x)の方程式を導出しましょう。

回答No.1

rnakamra

(1)
>y = xφ(x)からy' , y''を計算して代入し、
>φ''(x) = x/2

まず、ここから間違っています。もう一度計算を見直してください。
できれば導出過程を補足に書いてくださるとどこが間違っているか指摘できると思います。

(2)以降は(1)の結果を使います。

(2)が解ければ、それを積分してφ(x)が出せますので、それにxをかければyが得られます。

補足

回答ありがとうございます＾＾

計算しなおしました。
(x^2)y''-xy'+y = x^3

y' = φ(x) - xφ'(x)
y'' = φ'(x)-{φ'(x) - φ''(x)}
= xφ''(x)
これを代入すると
xφ''(x) + φ'(x) = x
となりました。
どうでしょうか？
また(2)はどのように解いていけばよういのでしょうか？