完全微分方程式の問題の解き方

質問

完全微分方程式
次の完全微分方程式を解けと言う問題で
(x dx + y dy)/(√(1+x^2+y^2) = 0 ・・・・・(1)

これを
P(x)dx + Q(y)dy = 0が完全微分方程式なら一般解は
∫P(x)dx - ∫{(∂/∂y)(∫P(x)dx) - Q(y)}dy = C
を使おうと、式(1)を

(x / (√(1+x^2+y^2))dx + (y / (√(1+x^2+y^2))dy=0
として解こうかと思ったんですが、
途中の計算で式が複雑になりすぎて行き詰ってしまいました。
公式に当てはめる前にもっと式を変形しないと駄目なんでしょうか？
もっと他の方法があるんでしょうか？
アドバイスお願いします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
x/√(1+x^2+y^2)　の形式が原始関数の微分したものと
考えれば簡単に解けるでしょう。
P(x)=x/√(1+x^2+y^2)=d{√(1+x^2+y^2)}/dx
Q(y)=y/√(1+x^2+y^2)=d{√(1+x^2+y^2)}/dy
∫P(x)dx ={√(1+x^2+y^2)}
∫Q(y)dy ={√(1+x^2+y^2)}

結果は{√(1+x^2+y^2)}=C　になるのは明白かな。

回答No.2

KENZOU

mmkyさんが既に答えられていますので以下補足の蛇足。
「完全微分方程式　⇒　公式に当てはめる」と直線的に考える前に、まず問題の式をよく眺めてみましょう（尤も単に公式に当てはめて上手くいくケースもありますが、、、）。つまり、
x^2+y^2　の全微分をとれば　
　d(x^2+y^2)=2(xdx+ydy)
となりますね。これがわかればしめたもの。
　ｔ^2=1+x^2+y^2　(t>0)
として
　2tdt=2(xdx+ydy)→xdx+ydy=tdt
従って与式は
　(t/√t^2)dt=(t/t)dt=dt=0
これから
　t=C　→　√(1+x^2+y^2)=C　(C:積分定数）