微分方程式の問題

質問

関数y=f(x)が微分方程式
y(d²y/dx²)－(dy/dx)²+y²=0
を満たすとき、この微分方程式の一般解はどうなりますか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

y(d^2y/dx^2)-(dy/dx)^2+y^2=0
↓d^2y/dx^2=y",dy/dx=y'とすると
yy"-(y')^2=-y^2
↓両辺をy^2で割ると
y"/y-(y'/y)^2=-1
↓(y'/y)'=(y"/y)-(y'/y)^2だから
(y'/y)'=-1
↓両辺を積分すると(積分定数をBとする)
y'/y=-x+B
↓両辺を積分すると(積分定数をcとする)
log|y|=-(1/2)x^2+Bx+c
↓logの定義から
|y|=e^{-(1/2)x^2+Bx+c}
|y|=e^{-(1/2)x^2+Bx}(e^c)
|y|=(e^c)e^{-(1/2)x^2+Bx}
y=(±e^c)e^{-(1/2)x^2+Bx}
↓A=±e^cとすると
∴
y=Ae^{-(1/2)x^2+Bx}

回答No.2

gamma1854

y≠0 のとき与式は、
{y'/y}'=-1 となるから、
y'/y=-x+C,
さらに積分して、
ln|y|=-x^2/2+Cx+D より、
y=A*e^(-x^2/2+Cx).
これは、y=0 も含んでいます。