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微分方程式の問題

関数y=f(x)が微分方程式 y(d²y/dx²)-(dy/dx)²+y²=0 を満たすとき、この微分方程式の一般解はどうなりますか?

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  • 回答No.1

y(d^2y/dx^2)-(dy/dx)^2+y^2=0 ↓d^2y/dx^2=y",dy/dx=y'とすると yy"-(y')^2=-y^2 ↓両辺をy^2で割ると y"/y-(y'/y)^2=-1 ↓(y'/y)'=(y"/y)-(y'/y)^2だから (y'/y)'=-1 ↓両辺を積分すると(積分定数をBとする) y'/y=-x+B ↓両辺を積分すると(積分定数をcとする) log|y|=-(1/2)x^2+Bx+c ↓logの定義から |y|=e^{-(1/2)x^2+Bx+c} |y|=e^{-(1/2)x^2+Bx}(e^c) |y|=(e^c)e^{-(1/2)x^2+Bx} y=(±e^c)e^{-(1/2)x^2+Bx} ↓A=±e^cとすると ∴ y=Ae^{-(1/2)x^2+Bx}

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その他の回答 (1)

  • 回答No.2

y≠0 のとき与式は、 {y'/y}'=-1 となるから、 y'/y=-x+C, さらに積分して、 ln|y|=-x^2/2+Cx+D より、 y=A*e^(-x^2/2+Cx). これは、y=0 も含んでいます。

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