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常微分方程式の問題

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以下の常微分方程式の一般解を求めるとどうなります?
(1)d²y/dx² ー(dy/dx)²=0
(2)dy/dx=tany/tanx
(3)y=xdy/dxー(1/2)(dy/dx)²+dy/dx

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ベストアンサー率 77% (418/536)

(1)
d^2y/dx^2-(dy/dx)^2=0
↓y"=d^2y/dx^2,y'=dy/dxとすると
y"-(y')^2=0
↓y'=pとすると
↓y"=p'
↓だから
p'-p^2=0
↓両辺にp^2を加えると
p'=p^2
↓両辺をp^2で割ると
(1/p^2)p'=1
↓両辺を積分すると(積分定数をAとする)
-1/p=x+A
↓p=y'だから
-1/y'=x+A
↓両辺にy'/(x+A)をかけて左右を入れ替えると
y'=-1/(x+A)
↓両辺を積分すると(積分定数をBとする)
y=-log|x+A|+B

(2)
dy/dx=tany/tanx
↓dy/dx=y'とすると
y'=tany/tanx
↓両辺をtanyで割ると
(1/tany)y'=1/tanx
(cosy/siny)y'=cosx/sinx
↓両辺を積分すると(cを積分定数とする)
log|siny|=log|sinx|+c
|siny|=(e^c)|sinx|
siny=(±e^c)sinx
↓C=±e^cとすると
siny=C*sinx

y=arcsin(C*sinx)

(3)
y=xdy/dx-(1/2)(dy/dx)^2+dy/dx
↓dy/dx=y'とすると
y=xy'-(1/2)(y')^2+y'
↓両辺をxで微分すると
y'=y'+xy"-y'y"+y"
↓両辺からy'を引くと
0=xy"-y'y"+y"
0=y"(x-y'+1)
y"=0の時
y'=C
y=Cx+B
Cx+B=Cx-(1/2)C^2+C
B=-(1/2)C^2+C
だから
y=Cx-(1/2)C^2+C
y=C{x+1-(C/2)}

x-y'+1=0の時
↓両辺にy'を加えると
y'=x+1
↓両辺を積分すると(積分定数をCとする)
y=(x^2/2)+x+C
↓(x^2/2)+x+C=x(x+1)-(1/2)(x+1)^2+x+1
↓(x^2/2)+x+C={(x+1)^2}/2
↓だから

y={(x+1)^2}/2
または
y=C{x+1-(C/2)}
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