連立常微分方程式の問題。。。

質問

手元の参考書などを調べても、連立された微分方程式について書いていなくて困っています。
以下の問題なのですが、どのように進めていけばよいのでしょうか??

-------------------------------------------------------
問）
dx/dt + 2x - 3y = exp(t)
dy/dt - 3x + 2y = exp(2t)
について、以下の問に答えなさい。

（１）x に関する2階の非同次常微分方程式を求めなさい。
（２）（１）を解き、x の一般解を求めなさい。
（３）（２）を用い、y の一般解を求めなさい。
--------------------------------------------------------

基本的なものなのかもしれませんが、連立微分方程式について、
一般的にどのように取り組んだらよいのかわからず困っています。

お手数ですが、よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

そんなに難しく考える必要はなく，
誘導に従うだけです．

x'' + 2x' -3y' =e^t (上の式をtで微分)
これに y'-3x+2y=e^{2t} を代入したらどうなりますか？
y が残りますが，x' + 2x - 3y = e^t から y を消去できます．
そうすると，定数係数線型二階非斉次常微分方程式，
x'' + A x' + B x = F(t) の形になります
これは斉次のときの解を求めて
定数変化法（って名前でしたっけ）でとけます．
演算子法でもとけますね．
xが分かれば，x' + 2x - 3y = e^t からyが分かります．

=======================
誘導からは外れますが，連立のままとく方法もあります．
この場合，係数が対称なので比較的簡単です．
書きにくいの行列の表記がいい加減ですが，意味は通じると思います．
X=(x,y)
A= ( 2 3
3 2 )
なんておけば，
X'= A X + (e^t, e^{2t})
これは，X' = AX をといて，やっぱり定数変化でできます．
X' = AX の解は X=Ce^{At} です．
行列の指数関数については，適当な線形代数の本をみてください．
行列の指数関数を計算するときに
「対称行列の対角化」を使って計算します．
例えば，佐武一郎 「線型代数学」（裳華房）に
行列の指数関数と連立線型常微分方程式の話はでています．

お礼

お！解けました!!
最初に一文字消去してしまえれば、あとは普通なカンジなんですね♪
よくわかりました。丁寧に、どうもありがとうございますm(_ _)m

行列の解法の法も後ほど調べて見ますネ。

本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#69788

ジョルダンの標準形をつかうといいらしいです。eの行列乗を使うらしいです。