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連立常微分方程式の問題。。。

手元の参考書などを調べても、連立された微分方程式について書いていなくて困っています。 以下の問題なのですが、どのように進めていけばよいのでしょうか?? ------------------------------------------------------- 問) dx/dt + 2x - 3y = exp(t) dy/dt - 3x + 2y = exp(2t) について、以下の問に答えなさい。 (1)x に関する2階の非同次常微分方程式を求めなさい。 (2)(1)を解き、x の一般解を求めなさい。 (3)(2)を用い、y の一般解を求めなさい。 -------------------------------------------------------- 基本的なものなのかもしれませんが、連立微分方程式について、 一般的にどのように取り組んだらよいのかわからず困っています。 お手数ですが、よろしくお願いします。

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そんなに難しく考える必要はなく, 誘導に従うだけです. x'' + 2x' -3y' =e^t (上の式をtで微分) これに y'-3x+2y=e^{2t} を代入したらどうなりますか? y が残りますが,x' + 2x - 3y = e^t から y を消去できます. そうすると,定数係数線型二階非斉次常微分方程式, x'' + A x' + B x = F(t) の形になります これは斉次のときの解を求めて 定数変化法(って名前でしたっけ)でとけます. 演算子法でもとけますね. xが分かれば,x' + 2x - 3y = e^t からyが分かります. ======================= 誘導からは外れますが,連立のままとく方法もあります. この場合,係数が対称なので比較的簡単です. 書きにくいの行列の表記がいい加減ですが,意味は通じると思います. X=(x,y) A= ( 2 3 3 2 ) なんておけば, X'= A X + (e^t, e^{2t}) これは,X' = AX をといて,やっぱり定数変化でできます. X' = AX の解は X=Ce^{At} です. 行列の指数関数については,適当な線形代数の本をみてください. 行列の指数関数を計算するときに 「対称行列の対角化」を使って計算します. 例えば,佐武一郎 「線型代数学」(裳華房)に 行列の指数関数と連立線型常微分方程式の話はでています.

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質問者からのお礼

お!解けました!! 最初に一文字消去してしまえれば、あとは普通なカンジなんですね♪ よくわかりました。丁寧に、どうもありがとうございますm(_ _)m 行列の解法の法も後ほど調べて見ますネ。 本当にありがとうございました。

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noname#69788
noname#69788

ジョルダンの標準形をつかうといいらしいです。eの行列乗を使うらしいです。

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