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連立微分方程式

連立微分方程式 dx/dt=5x+4y dy/dt=-x+y の一般解を求めて下さい。

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ANo.1です.行列を使うならこうです. r=(x y)^T(Tは転置) A=(5 4)    (-1 1) とおきます.Hamilton-Cayleyの定理より A^2-6A+9E=O (A-3E)^2=O B=A-3E=(2 4)とおくとB^2=Oだからn≧2のとき二項定理より       (-1 -2) A^n=(3E+B)^n=3^nE+nC13^{n-1}B+Σ_{k=2}^nnCk3^{n-k}B^k =3^nE+n3^{n-1}B これはn=0,1のときも成り立ちます. よって連立方程式は行列で dr/dt=Ar とかけて行列の指数関数 e^{tA}=Σ_{n=0}^∞t^nA^n/n! を計算すると e^{tA} =(Σ_{n=0}^∞(3t)^n/n!)E+t(Σ_{n=1}^∞(3t)^{n-1}/(n-1)!)B =e^{3t}E+te^{3t}B =e^{3t}(E+tB) =e^{3t}(1+2t 4t)      (-t 1-2t) となりますから, r(t)=e^{tA}r(0)←通常の指数関数同様de^{tA}/dt=Ae^{tA}) r(0)=(x(0) y(0))^Tとおくと r(t)=e^{3t}((1+2t)x(0)+4ty(0) -x(0)t+y(0)-2y(0)t)^T すなわち x=e^{3t}(2{x(0)+2y(0)}t+x(0)) y=e^{3t}(-{x(0)+2y(0)}t+y(0)) となります.ANo.1と同じ形にしたいなら2x(0)+4y(0)=a,x(0)=b(y(0)=a/4-b/2)とおけばよいです.

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質問者からのお礼

ありがとうございました。明解ですね。

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質問者からの補足

なるほど。 行列を使ってできますか?

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