連立微分方程式

質問

連立微分方程式
dx/dt=5x+4y
dy/dt=-x+y
の一般解を求めて下さい。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1です．行列を使うならこうです．

r=(x y)^T(Tは転置）

A=(5 4)
　　 (-1 1)

とおきます．Hamilton-Cayleyの定理より

A^2-6A+9E=O
(A-3E)^2=O

B=A-3E=(2 4)とおくとB^2=Oだからn≧2のとき二項定理より
　　　　　　(-1 -2)
A^n=(3E+B)^n=3^nE+nC13^{n-1}B+Σ_{k=2}^nnCk3^{n-k}B^k

=3^nE+n3^{n-1}B

これはn=0,1のときも成り立ちます．

よって連立方程式は行列で

dr/dt=Ar

とかけて行列の指数関数

e^{tA}=Σ_{n=0}^∞t^nA^n/n!

を計算すると

e^{tA}

=(Σ_{n=0}^∞(3t)^n/n!)E+t(Σ_{n=1}^∞(3t)^{n-1}/(n-1)!)B

=e^{3t}E+te^{3t}B

=e^{3t}(E+tB)

=e^{3t}(1+2t 4t)
　　　　 (-t 1-2t)
となりますから，

r(t)=e^{tA}r(0)←通常の指数関数同様de^{tA}/dt=Ae^{tA})

r(0)=(x(0) y(0))^Tとおくと

r(t)=e^{3t}((1+2t)x(0)+4ty(0) -x(0)t+y(0)-2y(0)t)^T

すなわち

x=e^{3t}(2{x(0)+2y(0)}t+x(0))
y=e^{3t}(-{x(0)+2y(0)}t+y(0))

となります．ANo.1と同じ形にしたいなら2x(0)+4y(0)=a,x(0)=b(y(0)=a/4-b/2)とおけばよいです．

お礼

ありがとうございました。明解ですね。

回答No.1

ereserve67

(x+ky)'=x'+ky'

=5x+4y+k(-x+y)

=(5-k)x+(4+k)y

ここで

1:k=(5-k):(4+k)

となるようにkを定めましょう．

4+k=5k-k^2

k^2-4k+4=(k-2)^2=0

k=2

したがって

(x+2y)'=3(x+2y)

x+2y=Ae^{3t}

x=-2y+Ae^{3t}を第2式に代入すると

dy/dt=2y-Ae^{3t}+y=3y-Ae^{3t}

まずdy/dt=3yの解y=Be^{3t}においてBをtの関数と考え

dB/dte^{3t}+3Be^{3t}=3Be^{3t}-Ae^{3t}

dB/dt=-A

B=-At+C

∴y=(-At+C)e^{3t}

∴x=-2(-At+C)e^{3t}+Ae^{3t}=(2At+A-2C)e^{3t}

2A=a,A-2C=bとおくと，C=a/4-b/2で

x=(at+b)e^{3t}
y=(-at/2+a/4-b/2)e^{3t}

（a,bは任意定数）が一般解です．

補足

なるほど。
行列を使ってできますか?