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微分方程式と積分

1.次の微分方程式を解け。 (1)y''+2y'+y=3sin2x 同次微分方程式の一般解はu(x)=(C₁+C₂x)exp(-x) と求められるのですが、非同次微分方程式の特殊解u₀(x)が求められません。 どうやって求めればいいのでしょうか。 (2)y''-5y'+6y=x(exp(x)) 非同次微分方程式の特殊解u₀(x)はどうやって求めたらいいのでしょうか。 2.置換積分によって、次の定積分を求めよ。 1.∫[0→π/2] 1/(1+cosx)dx tanx/2=tと置いた後、どうすればいいのでしょうか。 2.∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx(a>0) x=asintとおくと、dx=acost dt .∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx=∫[0→π/2] a^2sin^2t*acos^2t dt このあとどうすればいいのでしょうか。 お願いします。

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  • alice_44
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1. 「定数変化法」って、聞いたことありませんか? 斉次化した方程式の一般解のひとつと新たな未知関数の積を もとの方程式の未知関数へ代入して、変数変換をするのです。 例えば、y' + ay = f(x) であれば、 y' + ay = 0 の一般解のひとつ e^(-ax) と新たな未知関数 u の 積を作って y = u e^(-ax) を y' + ay = f(x) へ代入すると、 u'e^(-ax) = f(x) となり、u = ∫ e^(ax) f(x) dx と解けます。 y についての一階線型微分方程式だったものが、 u' について(u ではなく)の0階微分方程式(つまり解けてる)に なったところがミソです。 (1) y = u e^(-x) を代入すると、u'' e^(-x) = 3 sin(2x)。 よって、u = 3 ∫∫ (e^x) sin(2x) dx dx + Ax + B。 ただし、A, B は積分定数。 右辺の積分は、sin を sinθ = { e^(iθ) - e^(-iθ) } / 2 で 変形すれば、容易に計算できます。 (2) y = u e^(2x) を代入すると、(u'' - u') e^(2x) = x e^x。 すなわち、u'' - u' = x e^(-x)。 これに、再度 u' = v e^x を代入して、v' e^x = x e^(-x)。 よって、v = ∫ x e^(-2x) dx + A。 u' = e^x ∫ x e^(-2x) dx + A e^x だから、 u = ∫{ e^(-x) ∫ x e^(-2x) dx } dx + A e^x + B。 ただし、A, B は積分定数。 右辺の積分は、部分積分を行えば計算できます。 2. (1) t について部分分数分解してから、積分すればよいです。 (2) sin^2 t cos^2 t = (1/4)(2 sin t cos t)^2 = (1/4) sin^2(2t) = (1/4)(1/2){ 1 - cos(4t) } と次数下げしてもよいし、 やはり tan(t/2) = u と置いて、部分分数分解へ持ち込んでもよい。

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  • 回答No.2

微分方程式の特殊解の求め方は、色々あり、私が愛用しているのは… 「記号法」という、練習は要りますが、機械的にチャカチャカ計算する方法と、正式名称は知りませんが、仲間内では、「山ハリ法」と呼んでる、こんな感じの式かなぁ、と、アタリを付けて計算する方法です。 「記号法」は、簡単には説明し難いので、このサイト http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html を見るか、 内田老鶴圃「工科系学生のための記号法ですぐ解ける微分方程式」金田数正著 をご覧ください。この本、記号法だけじゃなく、微分方程式全般について、解り易く説明してあるいい本です。 で、「山ハリ法」での解き方は、 1の右辺は、3sin2x、 sinθ, cosθは、何度、微分しても、入れ替わりはあれど、sinθ,cosθの定数倍なので、y = a*sin2x + b*cos2x、みたいな形になってそうだなぁ、と、想像できます。 実際に微分すると、y' = 2a*cos2x - 2b*sin2x、y" = -4a*sin2x + -4b*cos2x なので、 y" + 2y' + y = (-4a-2b+a)sin2x + (-4b+2a+b)cos2x、 これと、元の式の左辺・を比べて、-3a-2b = 3, -3b+2a = 0、 これを解いて、推定した式に入れると、特殊解が出てきます。 2の右辺は、x*e^x、 (e^x)' = e^x, (x*e^x)' = (x+1)e^x、これが、(x^2*e^x)'になると、x^2は消えないので、y = (ax+b)e^x あたりが候補っぽい感じです。 微分すると、y' = (ax + a+b)e^x、y" = (ax + 2a+b)e^x なので、 y" - 5y' + 6y = {(a-5a+6a)x + (2a+b)-5(a+b)+6b}e^x、 これと、元の式の左辺・x*e^x を比べて、2a = 1, -3a + 2b = 0、 これを解いて、推定した式に入れると、特殊解。 ちなみに、右辺が、xのn次の多項式のときは、微分しても次数は下がるだけなので、 n次の多項式が候補、y = ax^n + bx^(n-1) + …、みたいに推定して、 右辺に、e^x, e^(-x) が入っているときは、y = a*e^x + b*e^(-x) と推定して、 くらい考えておけば、大抵は何とかなりそうな感じです。 2の1の置換積分は、 tan(x/2) = t とおくと、x = 0~π/2 に対し、t = 0~1 dt/dx = 1/(cos(x/2))^2 = (tan(x/2))^2 + 1 = t^2 + 1 より、dx = dt/(1+t^2) cosx = (1-t^2)/(1+t^2) (※) より、1/cosx = (1+t^2)/(2t^2) なので、 ∫[0,π/2] dx/(1+cosx) = ∫[0,1] (1+t^2)/(2t^2) * dt/(1+t^2) = ∫[0,1] (1/2)t^(-2)dt = (1/2)[-t^(-1)]_[0,1] = 1/2 (※) のところは、tan(x/2) = t とおくと、sinx = 2t/(1+t^2) と共に公式ですが、 倍角公式・tanx = 2t/(1-t^2) から、∠C = π/2、∠B = x の直角三角形ABCで、 BC = 1-t^2, AC = 2t と考えても構わないので、そのとき、AB = 1+t^2、 ここから、sinx, cosxはすぐ出せます (正確には比だろ、とか、90度超えたときは、とかいう、細かいツッコミはあるでしょうが^^、証明でなく、公式確認の方便ということで…^^ 2の2は、 ∫[0,a] x^2√a^2-x^2)x = (a^4)∫[0,π/2](sint*cost)^2 dt としたあとは、ベータ関数の公式覚えておけば一発とか、部分積分で、漸化式作るとか、sinかcosに揃えてそれから…、とか、色々手はありますが、 この問題に限って言えば、sin,cosの半角公式から… (sint*cost)^2 = {sin(2t)/2}^2 = (1/4){sin(2t)}^2 = (1/4) * {1 - cos(4t)}/2 = (1/8){1 - cos(4t)} としてから、積分するのが、普通かな?と思います。

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

1. 一般に 1階微分方程式 y' + ay = f(x) の解が y = e^(-ax) ∫ e^(ax) f(x) dx と書けるのは OK? 2. 1. 代入してごそごそする. 2. 2倍角の公式とか半角の公式とかを駆使して次数を落とす.

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