微分方程式と積分

質問

1.次の微分方程式を解け。
（1）y''+2y'+y=3sin2x
同次微分方程式の一般解はu(x)=(C₁+C₂x)exp(-x)
と求められるのですが、非同次微分方程式の特殊解u₀(x)が求められません。
どうやって求めればいいのでしょうか。
(2)y''-5y'+6y=x(exp(x))
非同次微分方程式の特殊解u₀(x)はどうやって求めたらいいのでしょうか。

2.置換積分によって、次の定積分を求めよ。
1.∫[0→π/2]　1/(1+cosx)dx
tanx/2=tと置いた後、どうすればいいのでしょうか。
2.∫[0→a] x^2（√a^2-x^2）dx(a>0)
x=asintとおくと、dx=acost dt
.∫[0→a] x^2（√a^2-x^2）dx=∫[0→π/2]　a^2sin^2t*acos^2t dt
このあとどうすればいいのでしょうか。

お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

1.
「定数変化法」って、聞いたことありませんか？
斉次化した方程式の一般解のひとつと新たな未知関数の積を
もとの方程式の未知関数へ代入して、変数変換をするのです。

例えば、y' + ay = f(x) であれば、
y' + ay = 0 の一般解のひとつ e^(-ax) と新たな未知関数 u の
積を作って y = u e^(-ax) を y' + ay = f(x) へ代入すると、
u'e^(-ax) = f(x) となり、u = ∫ e^(ax) f(x) dx と解けます。
y についての一階線型微分方程式だったものが、
u' について(u ではなく)の０階微分方程式(つまり解けてる)に
なったところがミソです。

(1)
y = u e^(-x) を代入すると、u'' e^(-x) = 3 sin(2x)。
よって、u = 3 ∫∫ (e^x) sin(2x) dx dx + Ax + B。
ただし、A, B は積分定数。
右辺の積分は、sin を sinθ = { e^(iθ) - e^(-iθ) } / 2 で
変形すれば、容易に計算できます。

(2)
y = u e^(2x) を代入すると、(u'' - u') e^(2x) = x e^x。
すなわち、u'' - u' = x e^(-x)。
これに、再度 u' = v e^x を代入して、v' e^x = x e^(-x)。
よって、v = ∫ x e^(-2x) dx + A。
u' = e^x ∫ x e^(-2x) dx + A e^x だから、
u = ∫{ e^(-x) ∫ x e^(-2x) dx } dx + A e^x + B。
ただし、A, B は積分定数。
右辺の積分は、部分積分を行えば計算できます。

2.
(1)
t について部分分数分解してから、積分すればよいです。

(2)

sin^2 t cos^2 t = (1/4)(2 sin t cos t)^2 = (1/4) sin^2(2t) = (1/4)(1/2){ 1 - cos(4t) }
と次数下げしてもよいし、
やはり tan(t/2) = u と置いて、部分分数分解へ持ち込んでもよい。

お礼

ありがとうございます。
助かりました。

回答No.2

WiredLogic

微分方程式の特殊解の求め方は、色々あり、私が愛用しているのは…

「記号法」という、練習は要りますが、機械的にチャカチャカ計算する方法と、正式名称は知りませんが、仲間内では、「山ハリ法」と呼んでる、こんな感じの式かなぁ、と、アタリを付けて計算する方法です。

「記号法」は、簡単には説明し難いので、このサイト
http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html
を見るか、
内田老鶴圃「工科系学生のための記号法ですぐ解ける微分方程式」金田数正著
をご覧ください。この本、記号法だけじゃなく、微分方程式全般について、解り易く説明してあるいい本です。

で、「山ハリ法」での解き方は、

１の右辺は、3sin2x、
sinθ, cosθは、何度、微分しても、入れ替わりはあれど、sinθ,cosθの定数倍なので、y = a*sin2x + b*cos2x、みたいな形になってそうだなぁ、と、想像できます。
実際に微分すると、y' = 2a*cos2x - 2b*sin2x、y" = -4a*sin2x + -4b*cos2x なので、
y" + 2y' + y = (-4a-2b+a)sin2x + (-4b+2a+b)cos2x、
これと、元の式の左辺・を比べて、-3a-2b = 3, -3b+2a = 0、
これを解いて、推定した式に入れると、特殊解が出てきます。

２の右辺は、x*e^x、
(e^x)' = e^x, (x*e^x)' = (x+1)e^x、これが、(x^2*e^x)'になると、x^2は消えないので、y = (ax+b)e^x あたりが候補っぽい感じです。
微分すると、y' = (ax + a+b)e^x、y" = (ax + 2a+b)e^x なので、
y" - 5y' + 6y = {(a-5a+6a)x + (2a+b)-5(a+b)+6b}e^x、
これと、元の式の左辺・x*e^x を比べて、2a = 1, -3a + 2b = 0、
これを解いて、推定した式に入れると、特殊解。

ちなみに、右辺が、xのn次の多項式のときは、微分しても次数は下がるだけなので、
n次の多項式が候補、y = ax^n + bx^(n-1) + …、みたいに推定して、
右辺に、e^x, e^(-x) が入っているときは、y = a*e^x + b*e^(-x) と推定して、
くらい考えておけば、大抵は何とかなりそうな感じです。

２の１の置換積分は、

tan(x/2) = t とおくと、x = 0～π/2 に対し、t = 0～1
dt/dx = 1/(cos(x/2))^2 = (tan(x/2))^2 + 1 = t^2 + 1 より、dx = dt/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2) (※) より、1/cosx = (1+t^2)/(2t^2) なので、
∫[0,π/2] dx/(1+cosx) = ∫[0,1] (1+t^2)/(2t^2) * dt/(1+t^2)
= ∫[0,1] (1/2)t^(-2)dt = (1/2)[-t^(-1)]_[0,1] = 1/2

(※) のところは、tan(x/2) = t とおくと、sinx = 2t/(1+t^2) と共に公式ですが、
倍角公式・tanx = 2t/(1-t^2) から、∠C = π/2、∠B = x の直角三角形ABCで、
BC = 1-t^2, AC = 2t と考えても構わないので、そのとき、AB = 1+t^2、
ここから、sinx, cosxはすぐ出せます (正確には比だろ、とか、90度超えたときは、とかいう、細かいツッコミはあるでしょうが^^、証明でなく、公式確認の方便ということで…^^

２の２は、
∫[0,a] x^2√a^2-x^2）x = (a^4)∫[0,π/2](sint*cost)^2 dt
としたあとは、ベータ関数の公式覚えておけば一発とか、部分積分で、漸化式作るとか、sinかcosに揃えてそれから…、とか、色々手はありますが、
この問題に限って言えば、sin,cosの半角公式から…
(sint*cost)^2 = {sin(2t)/2}^2 = (1/4){sin(2t)}^2 = (1/4) * {1 - cos(4t)}/2 = (1/8){1 - cos(4t)}
としてから、積分するのが、普通かな？と思います。

お礼

ありがとうござます。
とても参考になりました。

回答No.1

Tacosan

1. 一般に 1階微分方程式
y' + ay = f(x)
の解が
y = e^(-ax) ∫ e^(ax) f(x) dx
と書けるのは OK?

2.
1. 代入してごそごそする.
2. 2倍角の公式とか半角の公式とかを駆使して次数を落とす.

お礼

ありがとうございます。