微分方程式の解き方が分からず、困っています。

質問

現在、試験に向けて微分方程式の勉強をしているのですが、下記の問題の解き方が分かりません。
　教科書を参考に（１）は変数分離系、（２）は同次形、（３）は線形で解こうとしましたが、どの問題も積分するところで複雑な式になってしまい、解けれません。
　分かる問題だけでも良いのでアドバイス、解き方を教えてください。よろしくお願いします。

(1)次の微分方程式の一般解を求めよ
dy/dx=y^2+1

(2)次の微分方程式の一般解を求めよ
y'=(y/x)(log(y/x)+1)

(3)次の微分方程式の解でt=0のときx=1の条件を満たすものを求めよ
x'cost+xsint=1

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

(1) は、変数分離で ok です。
∫dy/(y^2+1) = ∫dx となるのですが、
貴方が積分できないのは、左辺ですか？ 右辺ですか？
左辺で困っているのなら、y = tan θ なんかどうでしょう。

(2) も、同次形で ok です。
r = y/x と置くと、dy = x dr + r dx ですから、
方程式は、∫dr/(r log r) = ∫dx/x と変形できます。
ここでも、積分できないのは、左辺ですか？ 右辺ですか？
左辺ならば、z = log r がお奨めです。
結局、∫dz/z = ∫dx/x になります。

(3) は、線型微分方程式の一般論を持ち出すよりも、
完全微分形を使ったほうが簡単でしょう。
両辺を f(t) 倍して、左辺が (dx/dt) g(t) + x dg(t)/dt
の形になるように、
g : dg/dt = cos t : sin t となる g を探す。
それには、(dg/dt)/g = (sin t)/(cos t) を解けばいい。
g の方程式は変数分離形なので、簡単に解けて、
g = (定数)/(cos t) です。これを使って、方程式を
(dx/dt)/(cos t) + x (sin t)/(cos t)^2 = 1/(cos t)^2
と変形する。左辺は完全微分形になっていますから、
あとは、右辺の ∫dt/(cos t)^2 ができれば ok ですね。

お礼

（１）、（２）は左辺の積分ができず困っていましたが回答のおかげで答えを導き出せました。

（３）は回答を参考にさせていただきながら、完全微分形を使って解くと、答えが導き出せました。

とても分かりやすかったです。
回答をしていただき、ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「どんな計算をしていったのか」を書いてもらうといいんだけど....
(1) 変数分離形で dy/(y^2+1) = dx/x. どっちも簡単に積分できるはずなんだけどなぁ.
(2) 同次形で y = ux とおくと u'x = u log u から du/(u log u) = dx/x. 再度 log u = t とおく.
(3) 特殊解の 1つは簡単にわかる. だからあとは x' cos t + x sin t = 0 を解けばよく, これは変数分離形.

お礼

どのような計算を行なったかを書かず、解答しにくくなってしまいすみませんでした。

　（２）を参考にさせていただきなら解くと、答えが導き出せました。
　他のアドバイスは私の知識不足等もあり、理解することができませんでした。

　アドバイスをしていただき、ありがとうございました。