微分方程式について

質問

こんにちは。

今、独学で微分方程式の勉強を行っているのですが、問題集に載っていた下記の問題の解き方が分からず困っています。

・(2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解を求める
　完全微分方程式ではないので、積分因子を求める必要があり、u=x^mt^nと仮定して求めようとしたのですが、途中で、n-m=4x^2 3n-4ym=-6 という式が出てきてしまい、計算が出来ません。

・(y^2+2ye^x)dx+(2y+e^x)dy=0,y(0)=1
　2変数の初期値問題はどのように解けば良いのでしょうか？

何度も解いてみたのですが、答えを求める事は出来ませんでした。
少しでもアドバイスを頂ければ幸いです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)　(2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解
＞u=x^mt^nと仮定して求めようとしたのですが

　ここの置き方は　μ=x^m y^n として、後でx,yについての恒等式にした方がいいですよ。

　　M≡2y+3xy^2,　　N≡2x+4x^2y^2

　　μM=2x^m y^(n+1)+3x^(m+1) y^(n+2)
　　μN=2x^(m+1)y^n+4x^(m+2)y^(n+1)

　∴(∂/∂y)(μM)=2(n+1)x^m y^n +3(n+2)x^(m+1) y^(n+1)
　　(∂/∂x)(μM)=2(m+1)x^m y^n +4(m+2)x^(m+1) y^(n+2)

　(∂/∂y)(μM)=(∂/∂x)(μM)　として係数を比較すると
　　m=n, n+2=m+2=0　∴m=n=-2
となるので　積分因子は次式の通りだと分かります。
　　μ=1/(x^2 y^2)　

　∴μM=2/(x^2 y) +3/x, μN=2/(xy^2)+4

　従って、微分方程式の一般解は　次のようになります。
　　-2/(x^2 y^2)+3log|x|+4y=C　　（C:積分定数）

(2)　(y^2+2ye^x)dx+(2y+e^x)dy=0,y(0)=1
　これも積分因子の考え方で求められます。

　　M≡y^2+2ye^x, N≡2y+e^x

　　∂M/∂y=2y+2e^x, ∂N/∂x=e^x　　∴∂M/∂y-∂N/∂x=2y+e^x

　この計算で　∂M/∂y-∂N/∂x=N だということに気づきますので、積分因子は次式に通りだと分かります。
　　μ(x)=exp{∫(∂M/∂y-∂N/∂x)/N dx}=exp(∫dx)=Aexp(x)　（A:定数)

　ここで、A=1 の積分因子　e^x をとると、

　　μ(x)M=y^2 e^x+2ye^(2x), μ(x)N=2ye^x+e^(2x)

となりますので、微分方程式の一般解は次のようになります。

　∴　y^2 e^x+ye^(2x)=C　（C:定数）

　ここで初期値y(0)=1 を考えると　1+1=C　∴C=2 となりますので、次式が解となります。

　∴　y^2 e^x+ye^(2x)=2

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node11.html

お礼

Mr_Holland様

とてもわかりやすい説明を行って頂きありがとうございました。
無事に問題を解くことが出来ました。