• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

微分方程式

第1問 dy   y~2-x~2 --=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい) dx    2xy 第2問 一階線形微分方程式  dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx 1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい 2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。 また、その時の一般解を求めなさい

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.6
  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2420)

No.5の続き dy/dx +ycosx=sinxcosx---(1) y={sinx-1+cexp(-sinx)}  c:定数 (1)に代入 y'=cosx-c*cosxexp(-sinx)} ycosx={sinx-1+cexp(-sinx)}cosx =sinxcosx-cosx+c*cosxexp(-sinx) y'+ycosx=sinxcosx で一般解になっていますね。 No.4の続き(確認まで) y=sin^2x/2(1+sinx) y'={2cosxsinx(2(1+sinx))-2cosx(1+sinx)sin^2x}/{2(1+sinx)}^2 =4cosxsinx+4cosxsin^2x-2cosxsin^2x-2cosxsin^3x/{2(1+sinx)}^2 =4cosxsinx+2cosxsin^2x-2cosxsin^3x/{2(1+sinx)}^2 =2cosxsinx(2+sinx-sin^2x)/2{(1+sinx)}^2 ycosx=sin^2xcosx/2(1+sinx) =sin^2xcosx{2(1+sinx)}/{2(1+sinx)}^2 =2sinxcosx(sinx+sin^2x)/{2(1+sinx)}^2 y'+ycosx =2cosxsinx(2+sinx-sinx^2x+sinx+sin^2x)/{2(1+sinx)}^2 =4cosxsinx(1+sinx)/4{(1+sinx)}^2 =cosxsinx/(1+sinx) ということで、一般解ではないですね。 #4は間違いです。ごめん。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (5)

  • 回答No.5
  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2420)

第2問 一階線形微分方程式  dy/dx +ycosx=sinxcosx---(1) 線形だから一般解は、 y=exp(-∫cosxdx){∫{exp∫cosxdx)}sinxcosxdx} =exp(-sinx){∫exp(sinx)sinxcosxdx} sinx=t cosxdx=dt =exp(-t){∫texp(t)dt} =exp(-t){texp(t)-∫exp(t)dt} =exp(-t){texp(t)-exp(t) +c} ={t-1 +cexp(-t)} だから y={sinx-1+cexp(-sinx)} になるね。  参考まで

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.4
  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2420)

dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx sinx×cosxの×はかけるという意味ですね。 cosx で両辺を割ると、 dy ------+y=sinx cosxdx ここで、sinx=z とおけば、cosx=dz/dx 、dz=cosxdx だから dy ---+y=z になる。 dz 整理すると、 dy+ydz=zdz 両辺積分すると ∫(dy+ydz)=∫zdz そうすると、y+yz=z^2/2 これは y(1+z)=z^2/2 なるので y=z^2/2(1+z) となる。 z=sinx を代入して y=sin^2x/2(1+sinx) ということかな。 参考まで

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2420)

第1問 dy/ dx =y~2-x~2 / 2xy (ヒントz=y/xと置換しなさい) ということですから置換すればよいのです。 dy/ dx =x~2(y~2/x~2-1) / 2x^2(y/x) z=y/x y=xz dy/dx=z+xdz/dx z+xdz/dx =(z^2-1) / 2z xdz/dx ={(z^2-1) / 2z} -z =(z^2-1-2z^2)/ 2z xdz/dx =-(1+z^2)/ 2z ひっくり返して,xとzで整理すると dx/x={-2z/(1+z^2)}dz ∫dx/x=∫{-2z/(1+z^2)}dz lnx+C=-ln(1+z^2) C1・exp(x)=exp-(1+z^2) で解けるんじゃない。 確認してみて。 参考まで

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

応用数学の教科書を見れば分かるんじゃないでしょうか? 「応用解析要論」(田代嘉宏著、森北出版) など。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

これの答えが知りたいのか解く過程が知りたいのか具体的にどこで悩んでいるかを書かないと答えようが無いと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 常微分方程式の問題

    常微分方程式の問題でいくつか解けなかったところがあるので教えていただきたいです。 この章で扱っているのは 変数分離系・同時系・線形1階微分方程式・完全微分形・線形2階微分方程式(同次形)・線形2階微分方程式(非同次形) を扱っていました。 その内、一般解を求める以下の問題 (1)dy/dx=xe^-y (2)x(dy/dx)-y=1 (3)(2y-x^2)dx+(2x-y^2)dy=0 と 与えられた条件をそれぞれ満たす微分方程式の解を求める以下の問題 (1)dy/dx=y/x (x=1のときY-2) (5)y''+5y'+6y=0 (x=0のときy=0、y'=1) の問題が解くことができませんでした。 どなたか解法をわかりやすく教えていただけないでしょうか?

  • 同次形高階微分方程式について

    同次形高階微分方程式について 同次形高階微分方程式の単元を読んでいますと、「y,dy,d2y について同次の場合」とか「x,dx について同次の場合」とあるのですが、式を見てy,dy,d2y について同次なのか、x,dx について同次なのか判断できません。具体的には、 xy(d2y/dx2)-x(dy/dx)^2+y(dy/dx)=0 はy,dy,d2y について2次の同次形で、x^2(d2y/dx2)+x(dy/dx)+y=0 はx,dx について0次の同次形 であるとありますが、どのように判断すればよろしいのでしょうか?

  • 微分方程式について。

    微分方程式の一般解をもとめます。 (1)dy/dx=(y^2)+y これは、線形微分方程式を使ってとくのでしょうか?? (2)(x-y)y'=2y 同次形で解きましたが 途中の式、 ∫du(1-u)/(u+u^2)=∫1/xでの右辺の積分がわかりません。 両者の解答の導き方を教えてください。お願いします。

  • 微分方程式について お願いします(><)

    課題がでたのですが、この5問がどうしても解けません。来週提出なので困っています。 この5問で分かるものがあれば教えて頂きたいです(。。) お願いします。 (1)(1+x²)y〝+ xy′=5x (2)p³=y⁴(y + xp)(一般解および特異解) (3)(2xy-cosx)dx + (x² -1)dy=0 (4) y〝+ y′+ y= x + (eのx乗) (5)P,Qが x の関数のとき、 y′+ P(x)y = Q(x)yⁿ(n≠0,1)は線形微分方程式であることを示せ。

  • 微分方程式と積分

    1.次の微分方程式を解け。 (1)y''+2y'+y=3sin2x 同次微分方程式の一般解はu(x)=(C₁+C₂x)exp(-x) と求められるのですが、非同次微分方程式の特殊解u₀(x)が求められません。 どうやって求めればいいのでしょうか。 (2)y''-5y'+6y=x(exp(x)) 非同次微分方程式の特殊解u₀(x)はどうやって求めたらいいのでしょうか。 2.置換積分によって、次の定積分を求めよ。 1.∫[0→π/2] 1/(1+cosx)dx tanx/2=tと置いた後、どうすればいいのでしょうか。 2.∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx(a>0) x=asintとおくと、dx=acost dt .∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx=∫[0→π/2] a^2sin^2t*acos^2t dt このあとどうすればいいのでしょうか。 お願いします。

  • 微分方程式の解き方が分からず、困っています。

     現在、試験に向けて微分方程式の勉強をしているのですが、下記の問題の解き方が分かりません。  教科書を参考に(1)は変数分離系、(2)は同次形、(3)は線形で解こうとしましたが、どの問題も積分するところで複雑な式になってしまい、解けれません。  分かる問題だけでも良いのでアドバイス、解き方を教えてください。よろしくお願いします。     (1)次の微分方程式の一般解を求めよ dy/dx=y^2+1 (2)次の微分方程式の一般解を求めよ y'=(y/x)(log(y/x)+1) (3)次の微分方程式の解でt=0のときx=1の条件を満たすものを求めよ x'cost+xsint=1

  • 微分方程式

    dx/dt=a^2-x^2 (aは実数の定数) (1)この微分方程式は1階の線形同次・線形非同次・非線形のどれにあてはまるか。 (2)この微分方程式の一般解を変数分離法で求めよ。 考えたことは(1)は非線形だと思いますが、合っていますか? (2)はdx/(x^2-a^2)=-dtと変形し、両辺積分します。  すると、1/(2a)log(|x-a|/|x+a|) = -t + C このあとx=が分からないです。 教えてください。お願いします

  • 微分方程式

    微分方程式 dy/dx-2xy=2xy~2 について。 (1)z=1/yとするとき、z=z(x)が満たす微分方程式を求めよ (2)(1)で求めたzに対する微分方程式の一般解を求めよ (3)yの一般解および特殊解を求めよ という問題があります。 これは教科書にあるような、微分方程式の公式を用いて解くのでしょうか よく分からないので詳しく教えてください。

  • 微分方程式の解き方を教えてください

    y''+y=1/cosx という微分方程式の同次方程式y''+y=0の一般解は y=Acosx+Bsinx (A,Bは任意定数) ですが、特殊解の解き方が分かりません。  もし(右辺)=cosxなら逆演算子を使ってすぐに解けるのですが、(右辺)=1/cosxとなると分かりません。ご存知の方、お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。 ※ y''=d^2y/dx^2

  • 非線形微分方程式の問題です

    非線形微分方程式について質問です。 とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。 y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2 この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。 非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。 私はこの問を解けませんでした。 解くことは可能なのでしょうか。 お願いします。