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微分方程式を解く問題なのですが。

  • 質問No.5621022
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お礼率 4% (1/22)

微分方程式を解く問題で
(1)dy/dx+y=e^x
(2)dy/dy+ycosx=e^(-sinx)
自分でやってみても分からず、解答にもくわしい回答が載っていなかったので、くわしい回答お願いします。

回答 (全3件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 48% (5664/11798)

こんにちは。

線形微分方程式の一般解の公式を知っていると便利です。
y’+ P(x)y = Q(x)
の一般解は、
y = e^(-∫Pdx)・{∫e^(∫Pdx)・Qdx + C}

(1)
y = e^(-∫1dx)・{∫e^(∫1dx)・e^xdx + C}
 = e^(-x)・{∫e^x・e^xdx + C}
 = e^(-x)・{∫e^(2x)dx + C}
 = e^(-x)・{1/2・e^(2x) + C}
 = 1/2・e^x + C・e^(-x)

(2)
dy/dy+ycosx=e^(-sinx) ではなく dy/dx+ycosx=e^(-sinx) ですね。

y = e^(-∫cosxdx)・{∫e^(∫cosxdx)・e^(-sinx)dx + C}
 = e^(-sinx)・{∫e^(sinx)・e^(-sinx)dx + C}
 = e^(-sinx)・{∫e^0dx + C}
 = e^(-sinx)・{∫1dx + C}
 = (x + C)e^(-sinx)
  • 回答No.2

ベストアンサー率 25% (2858/11130)

両方とも解き方は同じです。右辺がゼロではない、非同次方程式の解は、右辺をゼロとおいた同時式の解と原式を満たす任意の解を視察によって求め、これを加え合わせたものが解になります。同時式は両方とも線形ですから簡単に解けますね。
  • 回答No.1

ベストアンサー率 56% (890/1576)

 2問とも 非斉次の1階線形常微分方程式ですね。
 どちらも同じ解法で解けますが、質問者さんのために、敢えて異なる方法で解いてみます。

(1) dy/dx+y=e^x    ・・・・・・☆1

 (解法1) 特殊解と 斉次微分方程式の解から 一般解を求める方法

  ☆1から、次の特殊解を得ます。
   y=1/2 e^x     ・・・・・・・・・・・(A)

  次に、☆1の右辺を0とおいた斉次方程式で、変数分離によりyを求めます。

  dy/dx+y=0
  dy/y=-dx
  log|y|=-x+C1
 ∴y=e^(-x+C1) =C2 e^(-x)  (C1,Cは積分定数)  ・・・・・(B)

  ☆1の一般解は、 特殊解(A)と 斉次方程式の一般解(B)の和で表されることから、次のように得られます。

  y=1/2 e^x + C e^(-x)  (C:積分定数)



(2) dy/dx+ycosx=e^(-sinx)   ・・・・・☆2

 (解法2) 斉次方程式の一般解から、定数変化法で 非斉次方程式の一般解を求める方法

 ☆2の斉次方程式の一般解を 変数分離 により求めます。

  dy/dx + y cos(x)=0
  dy/y=-cos(x) dx
  log|y|=-sin(x) +C1
 ∴y=e^{-sin(x)+C1} =C2 e^(-sin(x)} (C1,C2 は積分定数)  ・・・・・(C)

 次に、式(C)の積分定数C2を xの関数として u(x) に置き換えます(変数変化法)。

  y=u(x) e^(-sin(x)}    ・・・・・・・・・(D)
 ∴y'=u'(x) e^(-sin(x)} - u(x) cos(x) e^(-sin(x)}

 これらを 式☆2 に代入します。

  u'(x) e^(-sin(x)} - u(x) cos(x) e^(-sin(x)} + u(x) cos(x) e^(-sin(x)} = e^(-sin(x)}
  u'(x) e^(-sin(x)}=e^(-sin(x)}
 ∴u'(x)=1
 ∴u(x)=x+C (C:積分定数)   ・・・・・(E)

 式(E)を式(D)に代入して、☆2の一般解を得ます。

  y=(x+C) e^(-sin(x)} 


 ちなみに、この一般解は 

  y=x e^(-sin(x)} + C e^(-sin(x)}
   =x e^(-sin(x)} +(斉次方程式の一般解(式C))

と変形できますので、 x e^(-sin(x)}  が☆2の特殊解であることが分かります。
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