非線形微分方程式の問題です

質問

非線形微分方程式について質問です。
とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。
y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2
この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。
非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。

私はこの問を解けませんでした。
解くことは可能なのでしょうか。
お願いします。

回答No.3

Meowth · ベストアンサー

a^2y=ax+4
(補足）まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数）
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
ｙ= -x^2/16（これが抜けてた。こっちが特殊解？）

＞非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数）
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数）
が出てこない一般の場合は、意味がない
（定石）
y=f(p、x)
と解けるときは、両辺をｘで微分して（ｐの微分方程式にして）
ｐを求めて、y=f(p、x)に代入する。
x=ｆ（p、y)のときはｙで微分する（1/pとすれば上とおなじ）
などなど
＞非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。
というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では
名前のついた（解くことができる）有名な”非線形の”方程式が出る。
（とおもう）

お礼

丁寧な回答を頂き感謝致します。
非線形微分方程式の演習はほとんど経験がなかったため、このように丁寧に説明して頂き大変助かりました。
大学院試験までもう少しだけ時間があるので、非線形微分方程式の問題を探して勉強してみようと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

Meowth

そうだとすると
y=0は特殊解
ax=a^2ｙ-4
y=(ax+4)/a^2
が一般解

お礼

回答ありがとうございます。
このaについて質問なんですが、a=(dy/dx)ですよね。
非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

回答No.1

Meowth

dy/dx (x)
の意味がわからない
dy/dx×x
だろうか

補足

その通りです。
判り辛い表記をしてしまいました。
お詫び致します。