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非線形微分方程式の問題です
非線形微分方程式について質問です。 とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。 y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2 この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。 非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。 私はこの問を解けませんでした。 解くことは可能なのでしょうか。 お願いします。
- kirishima8
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- Meowth
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a^2y=ax+4 (補足）まじめに解くと y'=pとおけば y =4p^2 + xp xで微分すると p=8pp'+p+xp' p'=0 →p=a(定数） または、 p=-x/8 p=aのとき y =4a^2 +ax y=C(x+2C) p=-x/8のとき ｙ= -x^2/16（これが抜けてた。こっちが特殊解？） ＞非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。 というより 1階高次常微分方程式の解法手順で解くと p'=0 →p=a(定数） が出てくるから。 p'=0 →p=a(定数） が出てこない一般の場合は、意味がない （定石） y=f(p、x) と解けるときは、両辺をｘで微分して（ｐの微分方程式にして） ｐを求めて、y=f(p、x)に代入する。 x=ｆ（p、y)のときはｙで微分する（1/pとすれば上とおなじ） などなど ＞非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。 というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では 名前のついた（解くことができる）有名な”非線形の”方程式が出る。 （とおもう）
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- Meowth
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そうだとすると y=0は特殊解 ax=a^2ｙ-4 y=(ax+4)/a^2 が一般解
質問者からのお礼
回答ありがとうございます。 このaについて質問なんですが、a=(dy/dx)ですよね。 非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。
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- Meowth
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dy/dx (x) の意味がわからない dy/dx×x だろうか
質問者からの補足
その通りです。 判り辛い表記をしてしまいました。 お詫び致します。
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質問者からのお礼
丁寧な回答を頂き感謝致します。 非線形微分方程式の演習はほとんど経験がなかったため、このように丁寧に説明して頂き大変助かりました。 大学院試験までもう少しだけ時間があるので、非線形微分方程式の問題を探して勉強してみようと思います。 ありがとうございました。