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1階線形微分方程式の問題です

1階線形微分方程式の問題です (d/dy)f(x,y)=-(4/y)f(x,y)+{8x/(πy^3)}arccos(x/2y) の一般解を求める、という問題がわかりません。 わかる方は教えてください

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  • 回答No.1

パッと見面倒に見えますが,x は定数扱いですよね。 (f(x(y),y) だともはや1階線形微分方程式ではないので…) ですから, (d/dy)f(y)+(4/y)f(y)={8x/(πy^3)}arccos(x/2y) と見れば, f'(y) + P(y)f(y) = Q(y) のよくある形になります。 "1階線形微分方程式"とかでググれば解き方が出てきますよ。 {8xy/π}arccos(x/2y) の積分がやや面倒ですが, 部分積分で適当にやってください。 答えは (4 x y^2 arccos(x / (2y)) - x^2 sqrt(4 y^2 - x^2)) / (pi y^4) + C / y4 みたいな感じになると思います。(Cは定数) 厳密に解くなら x = 2y の場合分けと(arccos(x/(2y)) だと思って書いています), 解く最中に出てくる y > 0 だけ注意する必要がありますね。

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