再び微分方程式の質問(2)です。

質問

全くわからず手が付けられません。ご回答よろしくお願いいたします。

微分方程式　ｙ’＋２ｙ（２乗）－２ｙ＝０　について問１～問３について答えよ。

　問１　問題の微分方程式は変数分離型である。変数を分離した積分として、次の(1)～(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。

　(1)　∫１／ｙ（ｙ－１）ｄｙ＝∫２ｄｘ
　(2)　∫１／ｙ（１－ｙ）ｄｙ＝∫２ｄｘ
　(3)　∫１／ｙ（ｙ＋１）ｄｙ＝∫２ｄｘ
　(4)　∫１／ｙ（ｙ－１）ｄｙ＝∫１／２ｄｘ
　(5)　(1)～(4)に正解はない。

　問２　問題の微分方程式の解として、次の(1)～(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。

　(1)　一般解ｙ＝１±√１－Ｃｅ（２ｘ乗）／２　（Ｃは任意定数）
　(2)　一般解ｙ＝Ｃｅ（２ｘ乗）／１＋Ｃｅ（２ｘ乗）　（Ｃは任意定数）
　(3)　一般解ｙ＝Ｃｅ（２ｘ乗）／１＋Ｃｅ（２ｘ乗）　（Ｃは任意定数）と特異解ｙ＝１
　(4)　一般解ｙ＝Ｃｅ（２ｘ乗）／１＋Ｃｅ（２ｘ乗）　（Ｃは任意定数）と特異解ｙ＝０
　(5)　(1)～(4)に正解はない。

　問３ 問題の微分方程式の解ｙ＝ｙ（ｘ）で、ｙ（０）＝１／２をみたすものがｙ（ｘ）＝２／３となるｘとして次の(1)～(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。

　(1)　１／２log２
　(2)　３／２
　(3)　log６
　(4)　１／６
　(5)　(1)～(4)に正解はない。

　以上、よろしくお願いいたします。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

問１
>　dy/{y(1-y) } = 2dx　と「変数分離」できそう。
　　　↓
積分形は、(2)　∫１／ｙ（１－ｙ）ｄｙ＝∫２ｄｘ　でしょうね。

問２
　1/{y(1-y) } = (1/y) + {1/(1-y) }
を積分し、右辺積分と等置して、LN(y)-LN(1-y) = LN{y/(1-y) } = 2x 。
つまり、Ce^(2x) = y/(1-y) , C は任意定数。整形して、y=Ce^(2x)/{1+Ce^(2x) } 。
これは　(2)　一般解ｙ＝Ｃｅ（２ｘ乗）／１＋Ｃｅ（２ｘ乗）　（Ｃは任意定数）　なのでしょうね。

>問３はわかったのですが。
これだけがなぜわかるのか、わかりませんけど…。

回答No.1

178-tall

>微分方程式　ｙ’＋２ｙ（２乗）－２ｙ＝０ …

とは、
　dy/dx = 2y(1-y)
のことだろうから、
　dy/{y(1-y) } = 2dx
と「変数分離」できそう。

これで、問１はおわかりでしょうネ。

問２は、問１の積分にて
　1/{y(1-y) } = (1/y) + {1/(1-y) }
なる和分解を使えば、おわかりになれるでしょう。

問３は、問２の一般解に初期 (境界？) 条件　「ｙ（０）＝１／２」　を放りこめば、おわかりになれるでしょう。

補足

ご回答ありがとうございました。ごめんなさい。わかりそうですがイマイチ自分自身の確証が持てません。問３はわかったのですが。どうか問１と問２、何番を選べばよいかご教示いただけるとありがたいです。とても困っています。どうかよろしくお願いいたします。