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再び微分方程式の質問(2)です。

全くわからず手が付けられません。ご回答よろしくお願いいたします。 微分方程式 y’+2y(2乗)-2y=0 について問1~問3について答えよ。  問1 問題の微分方程式は変数分離型である。変数を分離した積分として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。  (1) ∫1/y(y-1)dy=∫2dx  (2) ∫1/y(1-y)dy=∫2dx  (3) ∫1/y(y+1)dy=∫2dx  (4) ∫1/y(y-1)dy=∫1/2dx  (5) (1)~(4)に正解はない。  問2 問題の微分方程式の解として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。  (1) 一般解y=1±√1-Ce(2x乗)/2 (Cは任意定数)  (2) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)  (3) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=1  (4) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=0  (5) (1)~(4)に正解はない。  問3 問題の微分方程式の解y=y(x)で、y(0)=1/2をみたすものがy(x)=2/3となるxとして次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。  (1) 1/2log2  (2) 3/2  (3) log6  (4) 1/6  (5) (1)~(4)に正解はない。  以上、よろしくお願いいたします。

noname#231154
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  • 回答No.2

問1 > dy/{y(1-y) } = 2dx と「変数分離」できそう。    ↓ 積分形は、(2) ∫1/y(1-y)dy=∫2dx でしょうね。 問2  1/{y(1-y) } = (1/y) + {1/(1-y) } を積分し、右辺積分と等置して、LN(y)-LN(1-y) = LN{y/(1-y) } = 2x 。 つまり、Ce^(2x) = y/(1-y) , C は任意定数。整形して、y=Ce^(2x)/{1+Ce^(2x) } 。 これは (2) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数) なのでしょうね。 >問3はわかったのですが。 これだけがなぜわかるのか、わかりませんけど…。   

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1

>微分方程式 y’+2y(2乗)-2y=0 … とは、  dy/dx = 2y(1-y) のことだろうから、  dy/{y(1-y) } = 2dx と「変数分離」できそう。 これで、問1はおわかりでしょうネ。 問2は、問1の積分にて  1/{y(1-y) } = (1/y) + {1/(1-y) } なる和分解を使えば、おわかりになれるでしょう。 問3は、問2の一般解に初期 (境界?) 条件 「y(0)=1/2」 を放りこめば、おわかりになれるでしょう。   

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質問者からの補足

ご回答ありがとうございました。ごめんなさい。わかりそうですがイマイチ自分自身の確証が持てません。問3はわかったのですが。どうか問1と問2、何番を選べばよいかご教示いただけるとありがたいです。とても困っています。どうかよろしくお願いいたします。

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