微分方程式ydy=(y^2 + 1)dxについて

質問

微分方程式：ydy = (y^2 + 1)dx, y(0) = 0
を解くと、一般解がy^2 = Ce^2x - 1 (Cは任意定数)となると思うのですが、解答に載っていたy(0) = 0のときの特殊解が、y = √(e^2x -1) となっていました。
y = -√(e^2x -1) は、なぜ特殊解として書かれていないのでしょうか？

どなたかご教授ください。どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

ydy = (y^2 + 1)dx
ydy/(1+y^2)=dx
∫y/(1+y^2) dy=∫dx
(1/2)ln(1+y^2)=x+C
y(0)=0より　C=0
ln(1+y^2)=2x　(x≧0)
1+y^2=e^(2x)
y^2=e^(2x)-1
この↑答でも良いですが、y=…の形の
y=±√(e^(2x)-1)　(x≧0)
の答↑でも正解です。

なので
>解答に載っていたy(0) = 0のときの特殊解が、y = √(e^2x -1) となっていました。
>y = -√(e^2x -1) は、なぜ特殊解として書かれていないのでしょうか？

については、載っている解答のミスですね。

お礼

y = -√(e^2x -1)も特殊解として良いのですね！安心しました。

回答No.2

Knotopolog

＞y = -√(e^2x -1) は、なぜ特殊解として書かれていないのでしょうか？

微分方程式：ydy＝(y^2 ＋1)dx の一般解は，y^2 ＝Ce^{2x}－1 (C≠0 は任意定数)で，y＝√(e^{2x}－1) と y＝－√(e^{2x}－1) は，特殊解に違いありません．

y＝－√(e^2x -1) が，なぜ特殊解として書かれていないのかは，分かりませんので，先生に聞いて確かめてみては如何でしょうか？
もしや，y＝±√(e^{2x}－1) と書くはずが，± を忘れたのかも知れません．

お礼

回答ありがとうございます。先生にも確認してみます！