微分方程式

質問

下記の微分方程式が解けません。
y=y´x+4(y´)^2
この形で解けといわれたら一般解（任意定数を用いて）を求めればよいのですよね？

回答No.2

Knotopolog

y＝y´x＋4(y´)^2

の両辺を x で微分して計算すると

y'＝y'＋y''x＋8y'y''

y''x＋8y'y''＝0

この式が成り立つためには，

y''＝0　と　x＋8y'＝0　を得る．まず，y''＝0　を計算する．

y''＝0　を積分すると，
y'＝A　さらに積分すると，
y＝Ax＋B　　　A，B　は定数．

検算：y＝Ax＋B　を　y＝y´x＋4(y´)^2　に代入．

y＝y´x＋4(y´)^2
Ax＋B＝Ax＋4A^2
B＝4A^2

∴ y＝Ax＋4A^2　・・・・・　一般解

Aは積分定数．

次に，x＋8y'＝0　を解く．

x＋8y'＝0
y'＝－x/8
y＝(－1/8)*(1/2)x^2＋C
y＝(－1/16)x^2＋C

検算：
y＝y´x＋4(y´)^2

(－1/16)x^2＋C＝(－x/8)*x＋4(－x/8)^2
(－1/16)x^2＋C＝－x^2/8＋4x^2/8^2
(－1/16)x^2＋C＝－x^2/8＋x^2/16
(－1/16)x^2＋C＝－2x^2/16＋x^2/16
(－1/16)x^2＋C＝－x^2/16
C＝0
∴ y＝(－1/16)x^2 これを書き直すと
∴ y＝－x^2/16 ・・・・・特殊解（特異解）

y＝－x^2/16 は，与式の特殊解（特異解）となる．
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この微分方程式には，一般解と特殊解が存在する．

お礼

有難うございます。
特殊解も求めなければいけないのですね
勉強になりました。

回答No.1

rabbit_cat

両辺をxで微分してみたら