微分方程式の質問です。

質問

微分方程式の質問です。
定数係数２階線形Ｄ．Ｅ．の一般解を求める問題で、特殊解は定数変化法で求めなければいけません。

y″＋4y＝4/sin2x

です。

解けなくて困っています。
回答おまちしております<(_ _)>

回答No.1

drmuraberg

y″＋4y＝p(x) p(x) =4/sin2x　　　(1) と置きます。
y1=exp(2ix), y2=exp(-2ix) (2) は(1)　の斉次方程式
y″＋4y＝0 の特殊解です。
(1) の２つの積分定数をC1,C2とするとＣ１とＣ２の間には
次の関係式が成立します。下記ＵＲＬの「一元二階の場合」を参照
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0%E5%A4%89%E5%8C%96%E6%B3%95

C1’y1 + C2’y2 = 0 　(3-a)
C1’y1’ + C2’y2’ = p(x) (3-b)

(2)のy1とy2を(3-a,b)に代入しC1’,C2’に付いて解くと
C1’ = -i/sin2x*exp(-2ix)
C2’ = i/sin2x*exp(2ix) を得る。
これを積分すると
C1 = -i(log|sin2x|-2ix)/2
C2 = i(log|sin2x|+2ix)/2

これより一般解は
y = C1y1 + C2y2
= sin2x*log|sin2x| - 2xcos2x (4)

確かに(4)は(1)を満たします。

(4)の導出には積分公式∫dx/tanx = log|sinx| と
オイラーの公式exp(ix) = cosx + isinxを活用します。