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連立微分方程式の解き方について質問です
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>解説していただいた(2)の >「2項定理を使い普通に(aI+B)^nは展開可能」 >というところがよくわからないです……。 (aI+B)^n=Σ[k:0~n](nCk){(aI)^k}{B^(n-k)} と展開可能です。 普通行列の積を展開すると積が可換でないため (A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2 と展開されますが、単位行列Iはいかなる行列との積も可換であるため (I+B)^2=I^2+2IB+B^2 と出来る、ということです。(もちろんI^2=I,IB=Bとなるのですが。)
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- rnakamra
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exp(x)をマクローリン展開すると exp(x)=Σ[n:0~∞]x^n/n! となります。 この式のxの変わりに行列tAを入れたもの exp(tA)=Σ[n:0~∞](tA)^n/n! をexp(tA)と定義しています。 tはスカラーなので exp(tA)=Σ[n:0~∞]t^n*A^n/n! としても良いでしょう。 この式にA=aI+Bを代入します。 ここでB^kがどのような行列になるか事前に確認した上で計算するとよいでしょう。 B^2さえ計算すればわかりますが。 それとIとBの積は可換ですので普通のスカラーを計算する間隔で展開しても全く問題ありません。2項定理を使い普通に(aI+B)^nは展開可能です。 (3)については普通の微分方程式 X'=αX の解が X=C*exp(αt) であることから類推して d/d{T(X,Y)}=A{T(X,Y)} T(X,Y)は(X,Y)と縦に並べた列ベクトル の解が T(X,Y)=exp(tA)*T(C1,C2) になると予想できます。これを実際に確認すればよいでしょう。 上の式をtで微分して確認しましょう。もちろん、exp(tA)をtで微分する場合は、一度exp(tA)の定義式に戻ってから計算する必要があります。
![tcga](https://gazo.okwave.jp/okwave/images/contents/av_nophoto_60_6.gif)
補足
解答ありがとうございます。 まだわからないところがあるので、質問してよろしいでしょうか? 解説していただいた(2)の 「2項定理を使い普通に(aI+B)^nは展開可能」 というところがよくわからないです……。 理解不足ですみません。よろしくお願いします。
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丁寧な説明ありがとうございました。